Центр ваги й момент інерції: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: геометричні характеристики перерізів · осьовий момент інерції · теорема Штейнера
Безкоштовні задачі з теми Центр ваги й момент інерції з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: центр ваги, момент інерції, напруження згину.
Безкоштовна задачаЛегка
Знайдіть висоту ȳ центра ваги таврового перерізу над нижнім краєм.
Вивчайте тему «Центр ваги й момент інерції» з нуля
1Чому форма перерізу має значення
Розріжте балку впоперек і подивіться на торцеву поверхню. Ця форма — поперечний переріз, або просто переріз.
Візьміть дерев’яну дошку 100 × 20 mm. Покладіть її плазом над проміжком, і вона сильно прогнеться. Поставте ту саму дошку на ребро, і вона набагато жорсткіша, хоча площа точно та сама.
Важливо, як далеко матеріал розташований від осі, відносно якої згинається балка. Матеріал, далекий від цієї осі, працює набагато більше.
Це описують дві характеристики. Центр ваги (центроїд) — геометричний центр перерізу: балка згинається відносно осі, що проходить через нього. Осьовий момент інерції I вимірює, наскільки далеко площа розподілена від цієї осі.
Самоперевірка Ту саму дошку використовують плазом (a) і на ребро (b), згинаючи навколо горизонтальної осі. Яка жорсткіша?
Залежить лише від матеріалу
На ребро (b)
Однакові, бо площа та сама
Плазом (a)
Відповідь: На ребро (b). На ребро матеріал лежить далі від осі згину. Площа та сама, але важлива її відстань від осі.
2Центр ваги складеного перерізу
Для прямокутника центр ваги посередині. Багато перерізів балок, як-от тавр, складаються з прямокутників.
Розділіть переріз на прямокутники. Для кожного знайдіть його площу Ai і висоту yi його власного центра ваги, виміряну від однієї опорної лінії, зазвичай нижнього краю.
Центр ваги всього перерізу — це середнє значення цих висот, зважене за площами:
ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai
Велика частина притягує центр ваги до себе. У тавровому перерізі з поличкою вгорі центр ваги лежить вище за середину висоти.
Самоперевірка Частина 1 має A = 3000 mm² на y = 20 mm. Частина 2 має A = 1000 mm² на y = 100 mm. Де центр ваги?
ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm
Відповідь: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm — це просте середнє висот, яке ігнорує площі. 80 mm міняє площі місцями.
3Осьовий момент інерції
Для прямокутника шириною b і висотою h, що згинається відносно горизонтальної осі через власний центр ваги:
Ic = b · h³ / 12
Висота підноситься до куба, тому дошка на ребро жорсткіша в 25 разів: 20·100³ / (100·20³) = 25.
Для складеного перерізу кожна частина лежить на відстані d від осі через загальний центр ваги. Теорема про паралельні осі додає доданок для цього зміщення:
I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )
Одиниця — mm⁴. Числа стають великими, тому відповіді часто подають як «× 10⁶ mm⁴».
Коли ви маєте I, напруження згину на відстані y від центральної осі випливає зі згинального моменту M:
σ = M · y / I
Самоперевірка Прямокутник шириною 100 mm і висотою 20 mm: чому дорівнює I відносно його власної горизонтальної центральної осі?
1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴
Відповідь: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 міняє b і h місцями (це дошка на ребро); 800 000 забуває поділити на 12.
4Метод крок за кроком
Розділіть переріз на прямокутники та пронумеруйте їх.
Для кожної частини: площа Ai і висота центра ваги yi, обидві виміряні від нижнього краю.
Центр ваги: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
Для кожної частини: власний Ic = bh³/12 і відстань di = yi − ȳ.
Додайте: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
Якщо запитано напруження: σ = M·y/I, де y — відстань від осі до потрібного краю.
Невелика таблиця зі стовпцями A, y, A·y, Ic, d і A·d² тримає все в порядку.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Тавровий переріз має полицю 100 × 20 mm зверху над стінкою 20 × 100 mm. Знайдіть висоту центра ваги ȳ, осьовий момент інерції Ix і напруження згину на верхньому та нижньому краях для додатного (прогинального) моменту 4 kN·m.
1
Поділіть на два прямокутники
Полиця (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², центр ваги на y1 = 100 + 10 = 110 mm.
Стінка (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², центр ваги на y2 = 50 mm.
2
Центр ваги
ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm
Дві площі рівні, тож ȳ лежить посередині між 110 і 50 mm.
3
Власні моменти інерції
Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4
Доданки паралельних осей
Кожен центр ваги лежить на 30 mm від осі x: d1 = 110 − 80 = 30 mm і d2 = 50 − 80 = −30 mm.
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Нижній край лежить на 80 mm від осі, верхній — на 120 − 80 = 40 mm.
σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa
Нижній край розтягнутий, а верхній стиснутий, як у будь-якій балці, що прогинається вниз.
Відповідь
ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa і σtop = 30 MPa.
6Типові помилки
Забувати доданок A·d². Без нього ви додаєте лише власні I частин, що набагато замало.
Вимірювати висоти yi від різних опорних ліній. Оберіть нижній край і дотримуйтесь його.
Брати d від нижнього краю замість загального центра ваги.
Міняти b і h місцями в bh³/12. До куба підносять розмір, перпендикулярний до осі згину.
Використовувати неправильну відстань до краю в σ = M·y/I. Найбільше напруження на краї, найдальшому від осі.
Самоперевірка Прямокутник 100 × 20 mm (ширина × висота) має центр ваги на 50 mm від осі x. Який його внесок у Ix?
0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴
Відповідь: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ забуває A·d²; 5,00 × 10⁶ забуває власний доданок; 6,67 × 10⁶ використовує 1 666 667 (b і h поміняно місцями) плюс A·d².
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: центр ваги. Знайдіть ȳ таврового перерізу над його нижнім краєм. Варіанти: кутовий переріз або I одного прямокутника, круга (πd⁴/64) чи коробчастого перерізу.
Середньо: осьовий момент інерції. Знайдіть Ix таврового перерізу відносно його центральної осі. Варіанти: двотаври, швелери та радіус інерції r = √(I/A).
Складно: напруження згину. Тавровий переріз несе момент M; знайдіть напруження на верхньому чи нижньому краї за σ = M·y/I.
Задані розміри: bf і tf для полиці та tw і hw для стінки.
Знайдіть висоту ȳ центра ваги таврового перерізу над нижнім краєм.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Знайти: ȳ(mm)
Показати підказки
Поділіть тавр на полицю і стінку та знайдіть площу й висоту центра ваги кожної.
ȳ = ΣA·y / ΣA, кожне y відраховано від нижнього краю.
Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
стінка: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Пластина 100 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 156 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 156 mm
Знайти: Ix(× 10⁶ mm⁴)
Показати підказки
Спершу знайдіть центр ваги: пластина мінус отвір.
ȳ = 118,9 mm.
Тоді I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) відносно ȳ.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Приклад 3Складна
Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 30 × 20 mmцентр отвору: y = 120 mm
Знайти: Ix(× 10⁶ mm⁴)
Показати підказки
Спершу знайдіть центр ваги: пластина мінус отвір.
ȳ = 99,38 mm.
Тоді I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) відносно ȳ.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Запитання й відповіді
Центр ваги й момент інерції: що це?
Розріжте балку впоперек і подивіться на торцеву поверхню. Ця форма — поперечний переріз, або просто переріз.
Візьміть дерев’яну дошку 100 × 20 mm. Покладіть її плазом над проміжком, і вона сильно прогнеться. Поставте ту саму дошку на ребро, і вона набагато жорсткіша, хоча площа точно та сама.
Центр ваги й момент інерції: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Центр ваги й момент інерції: що ви тренуєте?
Легка: центр ваги
Середня: момент інерції
Складна: напруження згину
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.