Прогин балки: задачі з покроковими розв’язками

Q: Прогин балки: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Q: Прогин балки: що ви тренуєте?

Легка: консоль, сила на кінці Середня: рівномірне навантаження Складна: накладання і проєктування Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: прогини балок · метод початкових параметрів · інтеграл Мора

Безкоштовні задачі з теми Прогин балки з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: консоль, сила на кінці, рівномірне навантаження, накладання і проєктування.

Безкоштовна задачаЛегка

Консоль навантажена зосередженою силою P на вільному кінці. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Прогин балки Тренуйтеся зараз: Прогин балкиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкаконсоль, сила на кінці
Середнярівномірне навантаження
Складнанакладання і проєктування

Основні формули

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Вивчайте тему «Прогин балки» з нуля

Перед цим: Поперечна сила і згинальний момент, Центр ваги й момент інерції

1Що таке прогин

Кожна балка трохи згинається під навантаженням. Відстань, на яку точка балки зміщується вниз, — це її прогин δ, зазвичай у mm.

Балка може бути досить міцною і все ж надто згинатися. Тоді підлоги пружинять, тиньк тріскається, а двері заїдають. Типова межа для підлог — проліт/360: підлога завдовжки 3,6 m може прогинатися щонайбільше на 10 mm.

Те, наскільки балка прогинається, залежить від чотирьох чинників:

навантаження: удвічі більше навантаження дає удвічі більший прогин;
проліт: прогин дуже швидко зростає з довжиною (L³ або L⁴);
модуль Юнга матеріалу E: жорсткіший матеріал згинається менше;
осьовий момент інерції перерізу I: вищий переріз згинається менше.

E та I завжди входять разом як добуток EI, згинальна жорсткість балки.

Самоперевірка Ви замінюєте балку на таку, що має удвічі більший осьовий момент інерції I. Усе інше лишається тим самим. Що станеться з прогином?

Вона зменшиться вдвічі
Вона подвоїться
Він стане вчетверо меншим
Залишається незмінною

Відповідь: Вона зменшиться вдвічі. Прогин обернено пропорційний EI. Подвоєння I зменшує δ удвічі.

2Стандартні формули

Прогини отримують двократним інтегруванням згинального моменту, але для поширених випадків результат вже занесено в таблиці. Чотири випадки охоплюють більшість запитань:

Консоль, зосереджена сила P на вільному кінці: δ = P·L³ / (3·E·I)
Консоль, рівномірно розподілене навантаження w на всій довжині: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
Балка на двох опорах, зосереджена сила P посередині прольоту: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
Балка на двох опорах, рівномірно розподілене навантаження w на всьому прольоті: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

У консолі найбільший прогин на вільному кінці; у балки на двох опорах із симетричними навантаженнями — посередині прольоту.

Коли балка несе кілька навантажень, прогини від кожного навантаження окремо додаються. Це суперпозиція.

Самоперевірка Консоль із силою на кінці має прогин кінця 2 mm. Консоль зробили вдвічі довшою. Який тепер прогин?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

Відповідь: 16 mm. δ пропорційний L³, тож подвоєння L множить δ на 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. 4 mm вважає залежність лінійною; 32 mm використовує L⁴, що відповідає випадку з розподіленим навантаженням.

3Одиниці: працюйте в N і mm

Формули працюють лише за узгоджених одиниць. Безпечний вибір — ньютони та міліметри:

P у N: kN × 1000.
w у N/mm: 1 kN/m — це рівно 1 N/mm.
L у mm: m × 1000.
E у N/mm²: GPa × 1000. Сталь: 200 GPa = 200 000 N/mm².
I у mm⁴: «36 × 10⁶ mm⁴» означає 36 000 000 mm⁴.

Тоді прогин виходить у mm. Оскільки L підноситься до третього чи четвертого степеня, числа стають великими. Калькулятор зі степенями десяти допомагає їх тримати під контролем.

Самоперевірка Балка зі сталі, E = 200 GPa. Яке значення E використовувати з N і mm?

0,2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

Відповідь: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², тож 200 GPa = 200 000 N/mm². Використання 200 робить прогин у 1000 разів завеликим.

4Метод крок за кроком

Визначте випадок: консоль чи балка на двох опорах, зосереджена сила чи розподілене навантаження.
Переведіть P, w, L, E та I в N і mm.
Виберіть відповідну формулу.
Обчисліть δ у mm.
Для кількох навантажень: обчисліть кожне окремо й додайте.
Для задачі проєктування: прирівняйте δ до допустимого значення (наприклад, L/360) і розв’яжіть відносно I.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Сталева консоль (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) має довжину 3 m і несе зосереджену силу 8 kN на вільному кінці. Знайдіть прогин на вільному кінці.

Визначте випадок

Консоль із зосередженою силою на вільному кінці: δ = PL³/(3EI).

Перейдіть до N і mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

Згинальна жорсткість

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогин кінця

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm

Перевірте відповідь

10 mm на консолі 3 m — це L/300. Це реалістичний розмір для навантаженої сталевої балки: не частка міліметра й не десятки сантиметрів.

Відповідь

Вільний кінець прогинається на δ = 10 mm.

6Типові помилки

Змішувати одиниці: L у метрах з E у N/mm² дає нісенітницю. Спершу переведіть усе в N і mm.
Залишити E у GPa, через що δ виходить у 1000 разів завеликим.
Брати хибний випадок, наприклад PL³/(48EI) для консолі. Перевірте опори й тип навантаження.
Забути 5 у 5wL⁴/(384EI).
У суперпозиції брати окрему формулу для кожного навантаження, але забути одне з навантажень.

Самоперевірка Балка на двох опорах несе зосереджену силу посередині прольоту, яка сама дає 4 mm, і розподілене навантаження, яке саме дає 6 mm. Який прогин посередині прольоту?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

Відповідь: 10 mm. За суперпозицією прогини від кожного навантаження додаються: 4 + 6 = 10 mm. Узяти лише більший, різницю чи добуток — усе хибно.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легко: консоль із силою на кінці. Знайдіть δ = PL³/(3EI). Варіанти: балка на двох опорах із силою посередині, кут повороту на кінці або сила, що дає певний прогин.
Середньо: рівномірне навантаження. Консоль (wL⁴/8EI) або балка на двох опорах (5wL⁴/384EI). Варіанти: позацентрові сили та кути повороту на кінцях.
Складно: суперпозиція й проєктування. Додайте прогини від зосередженої сили та розподіленого навантаження або знайдіть найменший I, що тримає δ нижче L/360.

Для задачі проєктування: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow), де δ_allow = L/360.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. Знайдіть прогин δ_max посередині прольоту.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Знайти: δ_max (mm)

Показати підказки

Для шарнірно опертої балки із зосередженою силою посередині прогин посередині прольоту δ = PL³/(48EI).
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
EI = 2,4 × 10¹² N·mm².

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Відповідь

δ_max = 10,56 mm

Приклад 2Середня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Знайти: δ_B (mm)

Показати підказки

Ділянка між A і силою поводиться як консоль завдовжки a із силою на кінці: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
За силою моменту немає, тож ця ділянка залишається прямою: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Відповідь

δ_B = 16,51 mm

Приклад 3Складна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm

Знайти: h_req (mm)

Показати підказки

Прирівняйте прогин посередині прольоту 5wL⁴/(384EI) до граничного значення й знайдіть потрібний I.
Потім використайте I = bh³/12 для прямокутника й знайдіть h.
I_req = 4,602 × 10⁷ mm⁴.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,602 × 10⁷/100)^1/3 = 176,8 mm

Відповідь

h_req = 176,8 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

Запитання й відповіді

Прогин балки: що це?

Прогин балки: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Прогин балки: які помилки найпоширеніші?

PL³/(3EI) — це консоль із силою на кінці. Шарнірно оперта балка з силою посередині має прогин PL³/(48EI).
Коефіцієнт 5/384 стосується рівномірного навантаження (з wL⁴). Для зосередженої сили посередині використайте 1/48.
Це прогин під силою. За силою балка пряма, але нахилена, тож додайте θ·(L − a).

Прогин балки: що ви тренуєте?

Легка: консоль, сила на кінці
Середня: рівномірне навантаження
Складна: накладання і проєктування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Поперечна сила і згинальний момент Центр ваги й момент інерції

Калькулятори

Калькулятор прогину балки

Курси з цією темою

Опір матеріалів Будівельна механіка Підготовка до іспиту FE Mechanical Підготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Будівництво

Поперечна сила і згинальний момент Ферма: метод вирізання вузлів Центр ваги й момент інерції Стійкість колон Ефективне напруження в ґрунті Консолідаційне осідання Гідростатична сила Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Прогин балки» з відповідями

Тренуйтеся безкоштовно: Прогин балки Тренуйтеся зараз: Прогин балкиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.