Стійкість колон: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: поздовжній згин · формула Ейлера · критична сила

Безкоштовні задачі з теми Стійкість колон з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: шарнірні кінці, інші умови закріплення, проєктування і критичне напруження.

Безкоштовна задачаЛегка
PL = 2,5 m40 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm
kN
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Стійкість колонТренуйтеся зараз: Стійкість колонБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкашарнірні кінці
  2. Середняінші умови закріплення
  3. Складнапроєктування і критичне напруження

Основні формули

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

Вивчайте тему «Стійкість колон» з нуля

Перед цим: Центр ваги й момент інерції

1Що таке втрата стійкості

Натисніть на обидва кінці пластикової лінійки. Спочатку наче нічого не відбувається. А потім вона раптом вигинається вбік. Це і є втрата стійкості.

Стійка — це елемент, навантажений на стиск уздовж своєї довжини: колона будівлі, розпірка даху, шток поршня.

PL

Коротка товста стійка руйнується від роздавлювання: напруга P/A досягає міцності матеріалу. Довга тонка стійка втрачає стійкість за набагато меншого навантаження, коли напруга ще далеко нижча за цю міцність.

Навантаження, за якого гнучка стійка втрачає стійкість, — це її критичне навантаження Pcr. Вище нього стійка нестійка й поступається.

Самоперевірка Дві сталеві стійки мають однаковий поперечний переріз. Одна має довжину 2 m, інша 4 m. Яка втрачає стійкість за меншого навантаження?
  1. Жодна: сталеві стійки не можуть втратити стійкість
  2. Обидві за того самого навантаження
  3. Стійка 2 m
  4. Стійка 4 m

Відповідь: Стійка 4 m. Довша стійка гнучкіша й втрачає стійкість легше. Довжина — найважливіший чинник втрати стійкості.

2Формула Ейлера

Леонард Ейлер знайшов критичне навантаження гнучкої стійки:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E — модуль Юнга матеріалу: 200 GPa для сталі.
  • I — осьовий момент інерції поперечного перерізу. Беріть найменший: стійка вигинається легким способом.
  • L — довжина, а K — коефіцієнт зведеної довжини, який залежить від того, як закріплено кінці.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Шарнірний кінець може обертатися, а затиснений — ні. Міцніше закріплення кінців дає коротшу зведену довжину KL і набагато більше Pcr, бо KL стоїть у квадраті.

Для круглого стрижня I = π·d⁴/64. Для прямокутника b × h, де b — менша сторона, Imin = h·b³/12.

Самоперевірка Стійка з шарнірами на обох кінцях має Pcr = 100 kN. Таку саму стійку затиснули внизу й залишили вільною вгорі (K = 2). Чому тепер дорівнює Pcr?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Відповідь: 25 kN. Pcr ділиться на K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN — це забуте піднесення K до квадрата; 200 і 400 kN отримано множенням замість ділення.

3Гнучкість і критична напруга

Якщо поділити Pcr на площу, вийде критична напруга. Найзручніше записувати її через радіус інерції r і гнучкість λ (лямбда):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Для суцільного круглого стрижня r = d/4.

Формула Ейлера справедлива, лише поки σcr лишається нижчою за межу текучості матеріалу. Для конструкційної сталі це означає гнучкість приблизно λ > 100. Товстіші стійки руйнуються від течії або від поєднання обох причин, і для них потрібні інші правила розрахунку.

Самоперевірка Переріз прямокутної стійки — 20 mm × 40 mm. Який найменший осьовий момент інерції?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Відповідь: 26 667 mm⁴. Слабка вісь підносить до куба меншу сторону: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 — це сильна вісь; 320 000 забуває /12; 7854 використовує формулу для круга.

4Метод крок за кроком

  1. Прочитайте умови закріплення кінців і виберіть K: 1, 2, 0,7 або 0,5.
  2. Знайдіть найменший I перерізу, у mm⁴.
  3. Перейдіть до N і mm: L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000).
  4. Зведена довжина: KL.
  5. Критичне навантаження: Pcr = π²EI/(KL)², у N. Поділіть на 1000, щоб отримати kN.
  6. Якщо потрібно, перевірте гнучкість KL/r або критичну напругу Pcr/A.

У задачі на проєктування з коефіцієнтом запасу n стійка повинна мати Pcr = n·P. Розв’яжіть формулу Ейлера відносно I, а потім відносно діаметра.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Суцільна кругла сталева стійка (E = 200 GPa) діаметром 40 mm і довжиною 2 m має шарніри на обох кінцях. Знайдіть її критичне навантаження втрати стійкості Pcr. Потім знайдіть його знову для тієї самої стійки, затиснутої внизу й вільної вгорі.

1

Огляньте стійку

PL = 2 m

Шарніри на обох кінцях, тож K = 1 і KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Момент інерції перерізу

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Критична сила

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Перевірте, чи застосовна формула Ейлера

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Це набагато менше за межу текучості сталі (приблизно 250 MPa), тож стійка гнучка, і формула Ейлера справедлива.

5

Затиснена внизу, вільна вгорі

Тепер K = 2, тож зведена довжина подвоюється до 4000 mm, а Pcr зменшується в 2² = 4 рази:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Відповідь

Pcr = 62,0 kN із шарнірами на обох кінцях і 15,5 kN, коли стійка затиснута внизу й вільна вгорі.

6Типові помилки

  • Вибрати хибне K або забути піднести його до квадрата.
  • Брати більший I прямокутника. Стійка завжди втрачає стійкість відносно слабкої осі.
  • Змішувати одиниці: L у метрах, а E у N/mm². Працюйте скрізь у N і mm.
  • Використовувати π·d⁴/32 (полярний момент J із кручення) замість π·d⁴/64.
  • Застосовувати формулу Ейлера до короткої товстої стійки, критична напруга якої була б вищою за межу текучості.
Самоперевірка Стійка з шарнірами на обох кінцях має Pcr = 40 kN. Таку саму стійку затиснули на обох кінцях (K = 0,5). Чому дорівнює Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Відповідь: 160 kN. Pcr ділиться на K² = 0,25, тож стає вчетверо більшим: 160 kN. 80 kN забуває піднести K до квадрата; 10 kN множить на K² замість ділення.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: шарнірні кінці. Знайдіть Pcr круглої або прямокутної сталевої чи алюмінієвої стійки.
  • Середньо: інші умови закріплення кінців. Те саме запитання з K = 2, 0,7 або 0,5.
  • Складно: проєктування й критична напруга. Знайдіть найменший діаметр, який витримує навантаження з коефіцієнтом запасу, або знайдіть гнучкість і σcr.

Для задачі проєктування з круглим стрижнем: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
PL = 5 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

Знайти: Pcr (kN)

Показати підказки
  1. Ейлер: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 для колони, що шарнірно оперта з обох кінців.
  3. I = 306796 mm⁴.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Відповідь

Pcr = 8,478 kN
Приклад 2Середня
PL = 2,5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

Знайти: Pcr (kN)

Показати підказки
  1. Ейлер: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 2 для колони, що защемлена внизу й вільна вгорі.
  3. I = 39761 mm⁴.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Відповідь

Pcr = 3,139 kN
Приклад 3Складна
PL = 2,5 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

Знайти: σcr (MPa)

Показати підказки
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², де r = √(I/A) — радіус інерції.
  2. Використовуйте найменший I, бо колона втрачає стійкість відносно найслабшої осі.
  3. r = 6,25 mm.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Відповідь

σcr = 4,318 MPa

Запитання й відповіді

Стійкість колон: що це?

Натисніть на обидва кінці пластикової лінійки. Спочатку наче нічого не відбувається. А потім вона раптом вигинається вбік. Це і є втрата стійкості.

Коротка товста стійка руйнується від роздавлювання: напруга P/A досягає міцності матеріалу. Довга тонка стійка втрачає стійкість за набагато меншого навантаження, коли напруга ще далеко нижча за цю міцність.

Стійкість колон: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Стійкість колон: що ви тренуєте?
  • Легка: шарнірні кінці
  • Середня: інші умови закріплення
  • Складна: проєктування і критичне напруження

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Центр ваги й момент інерції

Калькулятори

Калькулятор втрати стійкості за Ейлером

Курси з цією темою

Опір матеріалівБудівельна механікаДеталі машинПідготовка до іспиту FE MechanicalПідготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Будівництво

Поперечна сила і згинальний моментФерма: метод вирізання вузлівПрогин балкиЦентр ваги й момент інерціїЕфективне напруження в ґрунтіКонсолідаційне осіданняГідростатична силаТечія у відкритих каналах (Маннінг)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Стійкість колон» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Стійкість колонТренуйтеся зараз: Стійкість колонБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.