Гідростатична сила: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: гідростатичний тиск · сила тиску рідини · центр тиску

Безкоштовні задачі з теми Гідростатична сила з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: вертикальна стінка, занурений затвор, центр тиску.

Безкоштовна задачаЛегка
h = 3 m

Вода глибиною 3 m тисне на вертикальну стінку. Знайдіть висоту ȳ над основою, на якій діє рівнодійна сила.

h = 3 mb = 4 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
m
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Гідростатична силаТренуйтеся зараз: Гідростатична силаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкавертикальна стінка
  2. Середнязанурений затвор
  3. Складнацентр тиску

Основні формули

Тиск на глибині
p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку
F = ρg·hc·A
Центр тиску
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямокутник
Ic = bH³/12

Вивчайте тему «Гідростатична сила» з нуля

1Що таке гідростатична сила

Вода в спокої тисне на кожну поверхню, якої торкається: стінку резервуара, греблю, шлюзові ворота. Цей тиск — гідростатична сила.

Чим глибше, тим сильніше тисне вода. Ви відчуваєте це у вухах, коли пірнаєте на дно басейну.

Тиск на глибині h під вільною поверхнею — це вага стовпа води над одним квадратним метром:

p = ρ · g · h

ρ — густина (1000 kg/m³ для прісної води), а g = 9,81 m/s². З h у метрах p виходить у Pa (N/m²). Поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

Тиск діє під прямим кутом до поверхні. Він не залежить від форми чи ширини резервуара, а лише від глибини.

Самоперевірка Який тиск води на глибині 5 m під поверхнею озера? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 24,5 kPa
  2. 49,05 kPa
  3. 5 kPa
  4. 98,1 kPa

Відповідь: 49,05 kPa. p = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa = 49,05 kPa. Якщо пропустити g, вийде 5 kPa, а це маса на площу, а не тиск.

2Сила тиску на вертикальну стінку

На вертикальній стіні тиск зростає за прямою лінією від нуля на поверхні до ρgh на дні. Навантаження на стіну — це трикутник.

h = 3 mF

Повна сила дорівнює площі цього трикутника, помноженій на ширину b стіни:

F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b

Сила діє через центр ваги трикутника, на одну третину висоти над основою:

ȳ = h / 3 (від основи)

Отже, сила діє нижче за середину стіни. Це логічно: нижня частина зазнає найбільшого тиску.

Самоперевірка Вода глибиною 2 m стоїть біля вертикальної стіни шириною 1 m. Яка рівнодійна сила? (ρg = 9810 N/m³)
  1. 19,62 kN
  2. 39,24 kN
  3. 4 kN
  4. 9,81 kN

Відповідь: 19,62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19,62 kN. Використання тиску на дні для всієї стіни (39,24 kN) забуває ½: на верху тиск дорівнює нулю.

3Занурені затвори та центр тиску

Затвор, що розташований глибоко в стіні резервуара, не починається від поверхні. Для будь-якої плоскої поверхні сила дорівнює тиску в її центроїді, помноженому на її площу:

F = ρ · g · yc · A

yc — глибина центроїда. Для прямокутного затвора висотою H, верхній край якого на d нижче за поверхню, yc = d + H/2 і A = H·b.

Сила діє не в центроїді. Вона діє трохи нижче, у центрі тиску, бо нижня частина затвора зазнає більшого тиску:

ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12

Ic — момент інерції площі затвора відносно його власного центроїда. Що глибше затвор, то ближче ycp до yc.

Для стіни, що починається від поверхні (d = 0), це дає ycp = 2h/3 під поверхнею, що те саме, що h/3 над основою.

4Метод крок за кроком

  1. Намалюйте поверхню й позначте її глибину під вільною поверхнею: верхній край d і висота H (або глибина h для стіни).
  2. Знайдіть глибину центроїда yc і площу A.
  3. Використайте густину рідини із запитання: вода 1000, морська вода 1025, олія 880 kg/m³.
  4. Сила: F = ρ·g·yc·A. Поділіть на 1000, щоб отримати kN.
  5. Якщо питають про лінію дії: ycp = yc + Ic/(yc·A), відлічену вниз від вільної поверхні.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m і висотою 2 m розташований у стіні резервуара з водою, його верхній край на 1 m нижче за поверхню. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

1

Подивіться на затвор

d = 1 mH = 2 m

Затвор простягається від 1 m до 3 m під поверхнею. Його ширина вглиб сторінки b = 2 m.

2

Глибина центроїда

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
3

Площа

A = H · b = 2 · 2 = 4 m²
4

Тиск у центроїді

pc = ρ·g·yc = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,62 kPa
5

Рівнодійна сила

F = pc · A = 19,62 · 4 = 78,48 kN
6

Перевірте відповідь

d = 1 mH = 2 mF

Тиск становить 9,81 kPa на верхньому краї та 29,43 kPa на нижньому. Їхнє середнє — 19,62 kPa, тож сила знову 19,62 · 4 = 78,48 kN.

Відповідь

F = 78,48 kN, діє горизонтально на затвор.

6Типові помилки

  • Прикладати силу в центроїді. Вона діє нижче: на h/3 над основою для стіни, в ycp для затвора.
  • Відмірювати ȳ від поверхні, коли запитання просить висоту над основою, або навпаки.
  • Використовувати глибину верхнього чи нижнього краю замість глибини центроїда.
  • Забувати ½ для стіни, що починається від поверхні.
  • Пропускати g або використовувати густину води для олії чи морської води.
Самоперевірка Вода глибиною 6 m стоїть біля вертикальної стіни. Де діє рівнодійна сила?
  1. На 2 m над основою
  2. На 2 m нижче за поверхню
  3. На 3 m над основою
  4. На 4 m над основою

Відповідь: На 2 m над основою. Трикутне навантаження діє через свій центроїд, h/3 = 2 m над основою. 3 m — середина стіни, де сила діяла б лише за рівномірного тиску.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: вода біля вертикальної стіни від поверхні донизу. Знайти F = ½ρgh²b або висоту ȳ = h/3 над основою.
  • Середній: занурений прямокутний затвор у воді. Знайти F = ρg·yc·A, як у прикладі.
  • Складний: той самий затвор в олії, морській воді чи гліцерині, а інколи глибина центра тиску ycp.

Для затвора з прикладу: Ic = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴, тож ycp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m під поверхнею. Це на 0,167 m нижче за центроїд.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
h = 4 m

Вода глибиною 4 m тисне на вертикальну стінку. Знайдіть висоту ȳ над основою, на якій діє рівнодійна сила.

h = 4 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Знайти: ȳ (m)

Показати підказки
  1. Тиск у рідині в спокої p = ρ·g·z.
  2. Епюра тиску на стінку — трикутник. F дорівнює його площі, помноженій на ширину; вона діє через його центр ваги.
  3. Тиск біля основи — 39,24 kPa.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Гідростатична сила: на плоску поверхню F = ρ·g·yc·A, де yc — глибина центра ваги. Вона діє нижче центра ваги, у центрі тиску.

h = 4 mF

Тиск лінійно зростає з глибиною

p = ρ·g·z, від нуля на поверхні до ρ·g·h на дні, тож навантаження на стінку трикутне.

pbase = ρgh = 1000·9,81·4 = 39,24 kPa

Лінія дії

Трикутне навантаження діє в центрі ваги, на третині висоти від основи
ȳ = h/3 = 4/3 = 1,333 m над основою

Відповідь

ȳ = 1,333 m
Приклад 2Середня
затворd = 4 mH = 1,5 m

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Знайти: F (kN)

Показати підказки
  1. Для плоскої поверхні F = ρ·g·yc·A, де yc — глибина центра ваги затвора.
  2. Центр ваги прямокутника — на половині висоти: yc = d + H/2.
  3. yc = 4,75 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
затворd = 4 mH = 1,5 mF

Рівнодійна сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

Відповідь

F = 209,7 kN
Приклад 3Складна
затворd = 2 mH = 2 m

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину ycp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

Знайти: ycp (m)

Показати підказки
  1. Для плоскої поверхні F = ρ·g·yc·A, де yc — глибина центра ваги затвора.
  2. Скористайтеся ycp = yc + Ic/(yc·A), де Ic = bH³/12.
  3. yc = 3 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
затворd = 2 mH = 2 mF

Рівнодійна сила

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·3 = 90,5 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

Відповідь

ycp = 3,111 m

Запитання й відповіді

Гідростатична сила: що це?

Вода в спокої тисне на кожну поверхню, якої торкається: стінку резервуара, греблю, шлюзові ворота. Цей тиск — гідростатична сила.

Чим глибше, тим сильніше тисне вода. Ви відчуваєте це у вухах, коли пірнаєте на дно басейну.

Гідростатична сила: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Гідростатична сила: на плоску поверхню F = ρ·g·yc·A, де yc — глибина центра ваги. Вона діє нижче центра ваги, у центрі тиску.

Гідростатична сила: що ви тренуєте?
  • Легка: вертикальна стінка
  • Середня: занурений затвор
  • Складна: центр тиску

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Нерозривність і Бернуллі

Калькулятори

Калькулятор густини (маса, об’єм і густина)

Курси з цією темою

Механіка рідиниФізика для інженерівГеотехнікаГідравліка й гідротехнікаПідготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Будівництво

Поперечна сила і згинальний моментФерма: метод вирізання вузлівПрогин балкиЦентр ваги й момент інерціїСтійкість колонЕфективне напруження в ґрунтіКонсолідаційне осіданняТечія у відкритих каналах (Маннінг)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Гідростатична сила» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Гідростатична силаТренуйтеся зараз: Гідростатична силаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.