Нерозривність і Бернуллі: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: рівняння Бернуллі · рівняння нерозривності
Безкоштовні задачі з теми Нерозривність і Бернуллі з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: нерозривність, горизонтальне звуження, висхідна труба.
Безкоштовна задачаЛегка
Вода тече зі швидкістю 0,75 m/s широкою частиною труби діаметром 75 mm. Знайдіть об’ємну витрату Q.
1Про що йдеться в рівнянні нерозривності та рівнянні Бернуллі
Закрийте пальцем кінець садового шланга, і вода полетить швидше. Така сама кількість води має пройти через менший отвір, тож вона мусить рухатися швидше.
Це і є нерозривність: у повній трубі вода не може накопичуватися чи зникати. Скільки втікає щосекунди, стільки й має витікати щосекунди.
Друга ідея — рівняння Бернуллі — пов’язує швидкість, тиск і висоту. Де вода пришвидшується, її тиск падає. Де вона піднімається, її тиск теж падає.
Разом ці дві ідеї дають змогу передбачити швидкість і тиск у будь-якому місці труби. У цій темі рідина нестислива (як вода), а втрати на тертя ігноруються.
Самоперевірка Вода тече трубою, яка звужується. Що відбувається з її швидкістю у вузькій частині?
Вода зупиняється
Залишається незмінною
Збільшується
Зменшується
Відповідь: Збільшується. Той самий об’єм за секунду має пройти через меншу площу, тож вода мусить рухатися швидше.
2Витрата та нерозривність
Об’ємна витратаQ — це об’єм рідини, що проходить за секунду, у m³/s. Один літр за секунду (L/s) — це 0,001 m³/s.
Для рідини, що рухається із середньою швидкістю v крізь поперечний переріз площею A:
Q = A · v A = π · d² / 4
Масова витрата — це ṁ = ρ · Q, у kg/s, де ρ — густина (1000 kg/m³ для води).
Нерозривність означає, що Q однакова в кожному перерізі труби:
A1 · v1 = A2 · v2
Для круглих труб π/4 скорочується, тож v2 = v1 · (d1 / d2)². Удвічі менший діаметр робить воду вчетверо швидшою.
Самоперевірка Труба звужується з 80 mm до 40 mm. У широкій частині вода рухається зі швидкістю 1 m/s. Як швидко вона рухається у вузькій частині?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Відповідь: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Площа залежить від квадрата діаметра. Якщо взяти відношення діаметрів без піднесення до квадрата, вийде 2 m/s.
3Рівняння Бернуллі
Уздовж лінії течії без втрат енергія на кубічний метр рідини лишається незмінною. Вона має три частини: тиск, рух і висоту.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: тиск, у Pa.
½ρv²: кінетична енергія на m³, також у Pa.
ρgz: енергія положення на m³, де z — висота над будь-яким обраним вами рівнем відліку.
Тож якщо одна частина зростає, інша має зменшитися. Швидша вода має нижчий тиск. Вища вода має нижчий тиск.
Корисний окремий випадок — резервуар, що спорожнюється через малий отвір на глибині h під відкритою поверхнею. Поверхня майже не рухається, і в обох точках атмосферний тиск, що дає закон Торрічеллі:
v = √(2gh)
Самоперевірка Відкритий резервуар з водою спорожнюється через малий отвір на 5 m нижче поверхні води. Нехтуючи втратами, з якою швидкістю виходить струмінь з отвору? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Відповідь: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Якщо забути 2, вийде 7,00 m/s, а якщо забути квадратний корінь — 98,1.
4Метод крок за кроком
Накресліть трубу й пронумеруйте два перерізи: 1 — де вам відомо найбільше, 2 — де невідома.
Перетворіть одиниці: mm на m, kPa на Pa, L/s на m³/s.
Знайдіть площі A = π·d²/4 і за допомогою нерозривності визначте відсутню швидкість.
Запишіть рівняння Бернуллі між перерізами 1 і 2. Для горизонтальної труби z1 = z2, тож члени з висотою скорочуються.
Розв’яжіть відносно невідомої, потім за потреби переведіть назад у kPa.
Зберігайте узгодженість одиниць. Якщо ρ у kg/m³, а v у m/s, член ½ρv² виходить у Pa, а не в kPa.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече горизонтальною трубою, що звужується зі 100 mm до 50 mm. У широкому перерізі тиск 200 kPa, а швидкість 1,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск у вузькому перерізі.
1
Накресліть трубу
Переріз 1 — широка частина, де все відомо. Переріз 2 — вузька частина.
2
Швидкість у вузькій частині
Діаметр зменшується вдвічі, тож швидкість зростає в (100/50)² = 4 рази:
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Запишіть рівняння Бернуллі
Труба горизонтальна, тому члени з висотою скорочуються:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Підставте числа, у паскалях
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Перевірте відповідь
У вузькій частині вода швидша, тож її тиск має бути нижчим. 183,1 kPa менше за 200 kPa, як і слід очікувати.
Витрата в обох перерізах Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s.
Відповідь
p2 ≈ 183,1 kPa у вузькому перерізі (v2 = 6 m/s).
6Типові помилки
Використовувати відношення діаметрів замість відношення площ: швидкості змінюються пропорційно квадрату діаметра.
Брати радіус як діаметр у A = π·d²/4 або забувати /4.
Плутати kPa і Pa. У рівнянні Бернуллі працюйте в Pa, а наприкінці переведіть.
Подавати m³/s як L/s. Щоб отримати L/s, помножте m³/s на 1000.
Забувати член із висотою ρ·g·Δz, коли труба піднімається або опускається.
Самоперевірка Вода тече зі швидкістю 2 m/s трубою з внутрішнім діаметром 100 mm. Яка об’ємна витрата?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Відповідь: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², тож Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Якщо забути /4, вийде 62,8, а якщо забути π/4 — 20.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: нерозривність. Знайдіть витрату, масову витрату, швидкість у вужчому перерізі або діаметр труби для заданої витрати. У деяких запитаннях використовується закон Торрічеллі для резервуара, що спорожнюється.
Середньо: горизонтальний перехід. Знайдіть тиск в одному перерізі за іншим. Варіації використовують витратомір Вентурі, трубку Піто (v = √(2Δp/ρ)) або діафрагму з коефіцієнтом витрати.
Складно: труба, що піднімається. Важливий член із висотою: кожен метр підйому знижує тиск на ρ·g·1 = 9,81 kPa для води. Варіації охоплюють сифон, резервуар під тиском і фонтан.
У наведеному вище прикладі підйом на 5 m між перерізами зменшив би p2 ще на 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, до 134,1 kPa.
Вода тече трубою, діаметр якої звужується з 100 mm до 50 mm. Швидкість у широкій частині 2,75 m/s. Знайдіть швидкість v2 у вузькій частині.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Знайти: v2(m/s)
Показати підказки
Щосекунди через кожен переріз проходить той самий об’єм води: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, а площа пропорційна d², тож v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.
Нерозривність
Витрата однакова в обох перерізах.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Відповідь
v2 = 11 m/s
Приклад 2Середня
Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 150 mm до 50 mm. У широкій частині тиск 250 kPa, а швидкість 0,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p2 у вузькій частині.
Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.
Нерозривність і Бернуллі
Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.
У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 190 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 25 mm, розташований на 4 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².
Рівняння Бернуллі від поверхні води (надлишковий тиск p, у спокої) до струменя (атмосферний тиск).
p/ρ + gh = ½v², тож v = √(2(p/ρ + gh)), де p у Pa.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Закрийте пальцем кінець садового шланга, і вода полетить швидше. Така сама кількість води має пройти через менший отвір, тож вона мусить рухатися швидше.
Це і є нерозривність: у повній трубі вода не може накопичуватися чи зникати. Скільки втікає щосекунди, стільки й має витікати щосекунди.
Нерозривність і Бернуллі: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.
Нерозривність і Бернуллі: які помилки найпоширеніші?
Тиск повітря теж виштовхує воду: врахуйте p/ρ у рівнянні Бернуллі.
Висота стовпа води теж збільшує швидкість: v = √(2(p/ρ + gh)).
Нерозривність і Бернуллі: що ви тренуєте?
Легка: нерозривність
Середня: горизонтальне звуження
Складна: висхідна труба
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.