Опорні реакції балок: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: реакції опор · визначення реакцій опор

Безкоштовні задачі з теми Опорні реакції балок з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: 1 зосереджена сила, 2 зосереджені сили, зосереджена сила + розподілене навантаження.

Безкоштовна задачаЛегка
P = 20 kNABRA​ = ?RB​3 m5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 8 mP = 20 kN у 3 m
kN
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Опорні реакції балокТренуйтеся зараз: Опорні реакції балокБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легка1 зосереджена сила
  2. Середня2 зосереджені сили
  3. Складназосереджена сила + розподілене навантаження

Як розв’язувати задачі на тему «Опорні реакції балок»

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Типові помилки

  • Беруть плече моменту від неправильної точки.
  • Забувають замінити розподілене навантаження рівнодійною.
  • Плутають, яка опора має яку реакцію.

Основні формули

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Вивчайте тему «Опорні реакції балок» з нуля

1Що таке опорні реакції

Балка — це довгий прямий елемент, що несе навантаження через проліт, як-от полиця, балка перекриття чи невеликий міст.

Балка лежить на опорах. Коли навантаження тисне на балку вниз, опори тиснуть угору. Ці сили, спрямовані вгору, — опорні реакції.

10 kNABRA​RB​2 m2 m

Тут навантаження 10 kN розташоване точно посередині. За симетрією кожна опора несе половину: RA = RB = 5 kN.

Коли навантаження не посередині, ближча опора несе більше. Як саме знайти, скільки, — тема цього уроку.

Реакції потрібні спершу майже для кожного іншого запитання про балки: поперечна сила, згинальний момент, напруження і прогин.

Самоперевірка Балка на двох опорах несе 10 kN точно посередині прольоту. Яка реакція на кожній опорі?
  1. 10 kN
  2. 2,5 kN
  3. 20 kN
  4. 5 kN

Відповідь: 5 kN. Дві реакції разом мають нести всі 10 kN, і за симетрією вони рівні: 10/2 = 5 kN. По 10 kN на кожній опорі означало б, що навантаження несеться двічі.

2Опори, моменти та рівновага

Кожен тип опори може чинити опір по-своєму.

  • Рухома (коткова) опора (B на рисунку) може тиснути лише під прямим кутом до поверхні, по якій вона котиться. Вона дає одну вертикальну реакцію.
  • Шарнірна опора (A) не дає балці рухатися в жодному напрямку. Вона дає вертикальну й горизонтальну реакції. За лише вертикальних навантажень горизонтальна дорівнює нулю.
  • Жорстке закріплення, як-от стіна, також не дає балці обертатися. Воно дає вертикальну силу та реактивний момент.

Момент — це обертальна дія сили відносно точки. Це сила, помножена на її перпендикулярну відстань до цієї точки:

M = F · d

Балка в спокої не рухається й не обертається. Тож виконуються три рівняння рівноваги:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0

Рівняння моментів справджується відносно будь-якої точки. Оберіть опору як цю точку: її реакція має нульову відстань, тож випадає з рівняння.

Самоперевірка Сила 6 kN діє на відстані 2 m від точки A. Який її момент відносно A?
  1. 12 kN·m
  2. 3 kN·m
  3. 6 kN·m
  4. 8 kN·m

Відповідь: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Ділення (3) або додавання (8) сили й відстані — звичайні промахи.

3Розподілені навантаження

Деякі навантаження розподілені вздовж балки, наприклад вага перекриття чи снігу. Рівномірно розподілене навантаження (UDL) має те саме значення w на кожному метрі, у kN/m.

w = 4 kN/mAB1 m3 m2 m

Для реакцій UDL можна замінити однією силою. Її величина дорівнює навантаженню на метр, помноженому на довжину навантаженої ділянки, і вона діє в середині навантаженої частини:

W = w · ℓ

На рисунку ℓ = 3 m, тож W = 4 · 3 = 12 kN. Вона діє в середині навантаження, на x = 1 + 1,5 = 2,5 m від A.

Консоль закріплена лише з одного кінця, як балкон. Стіна дає силу вгору та момент. Для кінцевого навантаження P на відстані L: RA = P і MA = P·L.

P = 5 kNAB3 m

У цій консолі RA = 5 kN і MA = 5 · 3 = 15 kN·m.

Самоперевірка UDL 4 kN/m діє від x = 1 m до x = 4 m. Якою однією силою його можна замінити і де вона прикладена?
  1. 12 kN при x = 1,5 m
  2. 12 kN при x = 2 m
  3. 12 kN при x = 2,5 m
  4. 4 kN при x = 2,5 m

Відповідь: 12 kN при x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN у середині навантаження, 1 + 1,5 = 2,5 m від A. 1,5 m відлічено від початку навантаження, а не від A. 2 m — це середина всього прольоту, а не навантаженої частини.

4Метод крок за кроком

  1. Намалюйте балку й замініть кожну опору її реакціями: RA на шарнірі та RB на котку.
  2. Замініть кожне UDL однією силою w·ℓ у середині навантаженої частини.
  3. Візьміть моменти відносно A. RA випадає, тож ви одразу отримуєте RB: RB·L = Σ(кожне навантаження × його відстань від A).
  4. Використайте ΣFy = 0: RA = (повне навантаження) − RB.
  5. Перевірка: візьміть моменти відносно B. Це має дати те саме RA.

Правило знаків для кроку 3: реакція RB обертає балку в один бік відносно A, а навантаження вниз — в інший. Їхні моменти мають врівноважуватися.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вільно оперта балка з прольотом 6 m несе P1 = 12 kN на відстані 2 m від A і P2 = 6 kN на відстані 4 m від A. Знайдіть RA і RB.

1

Намалюйте діаграму вільного тіла

P1​ = 12 kNP2​ = 6 kNABRA​RB​2 m2 m2 m

Шарнір A і коток B дають по одній реакції вгору. Є дві невідомі, тож достатньо двох рівнянь.

2

Моменти відносно A

RA проходить через A, тож не має моменту відносно A. Навантаження обертають балку за годинниковою стрілкою, RB — проти годинникової стрілки:

RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3

Баланс вертикальних сил

Дві реакції разом несуть повне навантаження 12 + 6 = 18 kN.

RA = 18 − 8 = 10 kN
4

Перевірте відповідь

Тепер візьміть моменти відносно B. Відстані до B дорівнюють 4 m для P1 і 2 m для P2.

RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN

Обидва шляхи збігаються. RA більше, що логічно: важче навантаження ближче до A.

P1​ = 12 kNP2​ = 6 kNABRA​ = 10 kNRB​ = 8 kN2 m2 m2 m
Відповідь

RA = 10 kN і RB = 8 kN.

6Типові помилки

  • Вимірювати відстань від не тієї точки. У рівнянні моментів відносно A кожну відстань відмірюють від A.
  • Міняти реакції місцями. Моменти відносно A дають RB, а не RA.
  • Забувати перетворити UDL на одну силу w·ℓ або прикладати цю силу в середині прольоту замість середини навантаження.
  • Плутати напрямки обертання, через що навантаження й реакція отримують однаковий знак у рівнянні моментів.
  • Не перевіряти. Друге рівняння моментів відносно B ловить більшість промахів за кілька секунд.
Самоперевірка Балка завдовжки 4 m на двох опорах несе 8 kN на відстані 1 m від A. Чому дорівнює RA?
  1. 2 kN
  2. 4 kN
  3. 6 kN
  4. 8 kN

Відповідь: 6 kN. Моменти відносно A: RB·4 = 8·1, тож RB = 2 kN і RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN — це RB: опора, ближча до навантаження, несе більше.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: вільно оперта балка з одним зосередженим навантаженням. Ви знаходите RA або RB.
  • Середній: два зосереджені навантаження, як у розібраному прикладі.
  • Складний: зосереджене навантаження разом з UDL на частині або на всьому прольоті. Спершу замініть UDL на w·ℓ у його середині.

Інші варіанти використовують ті самі три рівняння: консоль (знайти момент закріплення MA), похиле навантаження (використовуйте лише його вертикальну складову, P·sin θ), прикладена пара сил, балка з консольним звісом за опору або трикутне навантаження (рівнодійна ½·w·ℓ на одній третині довжини від високого кінця).

Уважно читайте розміри під балкою й запишіть кожну відстань від A, перш ніж почати.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
P = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 4 mP = 55 kN у 2 m

Знайти: RB (kN)

Показати підказки
  1. Скористайтеся умовами рівноваги: ΣFy = 0 і ΣM = 0. Дві невідомі, два рівняння.
  2. Візьміть моменти відносно A. RA проходить через A, тож зникає, і ви одразу отримуєте RB.
  3. Повне навантаження донизу — 55 kN, тож RA + RB = 55 kN.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P = 55 kNABRA​RB​2 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN

Відповідь

RB = 27,5 kN
Приклад 2Середня
P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 6 mP1 = 15 kN у 2 mP2 = 30 kN у 3 m

Знайти: RB (kN)

Показати підказки
  1. Скористайтеся умовами рівноваги: ΣFy = 0 і ΣM = 0. Дві невідомі, два рівняння.
  2. Візьміть моменти відносно A. RA проходить через A, тож зникає, і ви одразу отримуєте RB.
  3. Повне навантаження донизу — 45 kN, тож RA + RB = 45 kN.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m1 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN

Відповідь

RB = 20 kN
Приклад 3Складна
P = 25 kN, 30°Q = 25 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 3 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 2 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 4 mP = 25 kN у 3 m, θ = 30°Q = 25 kN у 2 m

Знайти: RA (kN)

Показати підказки
  1. Розкладіть P на P·cos θ (горизонтальна) і P·sin θ (вертикальна). Рухома опора не сприймає горизонтальної сили.
  2. Знайдіть RB з рівняння моментів відносно A, потім Ay з ΣFy = 0 і Ax з ΣFx = 0.
  3. Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN

Повна реакція в A

RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN

Відповідь

RA = 26,7 kN

Запитання й відповіді

Опорні реакції балок: що це?

Балка — це довгий прямий елемент, що несе навантаження через проліт, як-от полиця, балка перекриття чи невеликий міст.

Балка лежить на опорах. Коли навантаження тисне на балку вниз, опори тиснуть угору. Ці сили, спрямовані вгору, — опорні реакції.

Опорні реакції балок: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Опорні реакції балок: які помилки найпоширеніші?
  • Беруть плече моменту від неправильної точки.
  • Забувають замінити розподілене навантаження рівнодійною.
  • Плутають, яка опора має яку реакцію.
Опорні реакції балок: що ви тренуєте?
  • Легка: 1 зосереджена сила
  • Середня: 2 зосереджені сили
  • Складна: зосереджена сила + розподілене навантаження

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Поперечна сила і згинальний моментРами та механізмиФерма: метод вирізання вузлів

Калькулятори

Калькулятор реакцій балки

Курси з цією темою

СтатикаБудівельна механікаПідготовка до іспиту FE MechanicalПідготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Машинобудування

Рами та механізмиОсьове напруження й деформаціяКручення валівКоло Мора й перетворення напруженьРух тіла, кинутого під кутомРобота й енергіяОбертання твердого тілаМеханічні коливанняТеплові машини й холодильникиГазові цикли теплових двигунівНерозривність і БернулліТертя в трубах і втрати напоруНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Опорні реакції балок» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Опорні реакції балокТренуйтеся зараз: Опорні реакції балокБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.