Вивчайте тему «Обертання твердого тіла» з нуля
Перед цим: Закони Ньютона, Робота й енергія
1Що таке обертання твердого тіла
Тверде тіло — це предмет, що зберігає форму: маховик, шків, двері чи колесо, що котиться. У цій темі тіло обертається навколо осі.
Кожна точка тіла повертається на той самий кут за той самий час. Тож рух описують кутовими величинами замість відстаней:
- θ: кут повороту, в радіанах (rad). Один оберт — 2π rad.
- ω: кутова швидкість, у rad/s.
- α: кутове прискорення, у rad/s².
Машини задають швидкості в обертах за хвилину (rpm). Перетворіть їх перед обчисленням:
ω = 2π·n / 60
Точка на відстані r від осі рухається зі швидкістю v = ω·r і має прискорення a = α·r вздовж своєї траєкторії.
Усе, що ви знаєте про прямолінійний рух, має обертового двійника: сила стає моментом, маса стає моментом інерції, а ΣF = m·a стає ΣM = I·α.
Самоперевірка Колесо обертається зі швидкістю 600 rpm. Яка його кутова швидкість у rad/s?
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62,8 rad/s
Відповідь: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. 10 — це оберти за секунду (бракує 2π), 3770 забуває поділити на 60, а 600 усе ще в rpm.
2Момент інерції
Маса показує, наскільки важко розігнати тіло по прямій. Масовий момент інерції I показує, наскільки важко розкрутити його.
Маса далеко від осі важить набагато більше, ніж маса поблизу неї, бо вона враховується з квадратом своєї відстані:
I = Σ m·r² (одиниця: kg·m²)
Вам не потрібно самим складати частини. Вивчіть ці стандартні результати відносно центра мас G:
- Тонкий стрижень довжиною L, вісь через середину: m·L²/12.
- Суцільний диск або циліндр радіуса R: ½·m·R².
- Тонке кільце або обруч: m·R².
- Суцільна куля: (2/5)·m·R². Порожниста сфера: (2/3)·m·R².
- Точкова маса на відстані r: m·r².
Коли вісь O не проходить через G, використайте теорему про паралельні осі (Штейнера). Тут d — відстань між O і G:
IO = IG + m·d²
Стрижень, що обертається навколо свого кінця, має d = L/2, тож IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.
Деякі запитання дають радіус інерції k замість форми. Тоді I = m·k². Для тіла, складеного з частин, знайдіть I кожної частини відносно тієї самої осі й додайте.
Самоперевірка Однорідний стрижень масою 3 kg і довжиною 2 m обертається навколо одного зі своїх кінців. Який його момент інерції?
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
Відповідь: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², або IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² — це значення відносно центра, 3 kg·m² — лише частина m·d², а 12 kg·m² — це m·L² без жодного множника.
3Моменти, енергія та момент імпульсу
Три інструменти розв’язують майже кожну задачу про обертання. Оберіть той, що відповідає запитанню.
1. Моменти. Сума моментів відносно осі дорівнює I·α. Використовуйте для прискорень і сил.
ΣM = I·α
За сталого моменту кутовий рух має стале α, а рівняння кінематики мають обертових двійників: ω = ω₀ + α·t і ω² = ω₀² + 2·α·θ.
2. Енергія. Тіло, що обертається, запасає кінетичну енергію. Момент T, що повертає на кут θ, виконує роботу, а потужність вала, що обертається, — це момент, помножений на кутову швидкість:
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
Тіло, що котиться без проковзування, одночасно рухається і обертається, з v = ω·r. Воно має обидва види кінетичної енергії:
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
Число c залежить лише від форми: 0,4 для суцільної кулі, 0,5 для суцільного циліндра, 2/3 для порожнистої сфери та 1 для обруча. На схилі a = g·sin θ / (1 + c).
3. Момент імпульсу. L = I·ω. Коли жоден зовнішній момент не діє відносно осі, L залишається незмінним, навіть коли тіла злипаються й кінетична енергія втрачається:
I1·ω1 = I2·ω2
Самоперевірка Двигун видає момент 100 N·m при 600 rpm. Яка його потужність?
- 1 kW
- 377 kW
- 6,28 kW
- 60 kW
Відповідь: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s, тож P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. 60 kW використовує rpm як ω, 1 kW використовує оберти за секунду, а 377 kW забуває поділити на 60.
4Метод крок за кроком
- Намалюйте тіло й оберіть вісь: нерухомий шарнір або вал, або центр для тіла, що котиться.
- Знайдіть момент інерції відносно цієї осі. Використайте стандартні результати й додайте m·d², коли вісь зсунуто.
- Перетворіть кожну швидкість у rpm на rad/s за ω = 2π·n/60.
- Оберіть інструмент. Прискорення й сили: ΣM = I·α (з ΣF = m·a для частин, що рухаються по прямій). Швидкості після відстані чи кута: енергія. Удари, раптові захоплення й тіла, що підтягують свою масу: момент імпульсу.
- Пов’яжіть прямолінійний і обертовий рух там, де їх з’єднує шнур або контакт кочення: v = ω·r і a = α·r.
- Розв’яжіть і перевірте результат другим інструментом, якщо можете.
Для тіла, що висить на шнурі навколо шківа, намалюйте дві діаграми вільного тіла: одну для вантажу (сили) і одну для шківа (моменти). Натяг шнура з’являється в обох.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний прикладВантаж масою 2 kg висить на легкому шнурі, намотаному на шків. Шків — однорідний суцільний диск масою 4 kg і радіусом 0,2 m на осі без тертя. Вантаж відпускають зі стану спокою. Використайте g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення вантажу, натяг шнура й швидкість вантажу після того, як він опуститься на 1 m.
1Шків — суцільний диск, що обертається навколо свого центра.
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²
2Візьміть напрямок вниз за додатний для вантажу. Гравітація тягне його вниз, а натяг шнура T тягне вгору.
m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a
3Лише натяг має момент відносно осі, з плечем R. Шнур не проковзує, тож α = a/R.
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a
4Підставте T = 2·a у рівняння для вантажу.
19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²
T = 2 · 4,905 = 9,81 N
Шків обертається з α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².
5Прискорення стале, а вантаж стартує зі стану спокою, тож використайте v² = 2·a·s.
v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s
6Скористайтеся натомість енергією. Втрачена потенціальна енергія стає кінетичною енергією вантажу й шківа, з ω = v/R.
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²
Отже, v² = 9,81 і v ≈ 3,13 m/s, так само, як і раніше.
Відповідь a ≈ 4,91 m/s², T ≈ 9,81 N і v ≈ 3,13 m/s після 1 m.
6Типові помилки
- Залишати швидкості в rpm в ω, E = ½·I·ω² або P = T·ω. Спершу перетворіть на rad/s.
- Використовувати момент інерції відносно центра для тіла, що обертається навколо свого кінця. Додайте m·d².
- Забути про кінетичну енергію обертання тіла, що котиться, або шківа.
- Вважати кулю чи диск на кінці стрижня точковою масою. Додайте також її власний I відносно її центра.
- Вважати, що кінетична енергія зберігається, коли тіла захоплюються чи злипаються. Використовуйте натомість момент імпульсу.
- Рахувати оберти в радіанах: N = θ/(2π).
Самоперевірка Суцільний циліндр масою 2 kg котиться без проковзування зі швидкістю 3 m/s. Яка його повна кінетична енергія?
- 13,5 J
- 18 J
- 4,5 J
- 9 J
Відповідь: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J, з c = 0,5 для суцільного циліндра. 9 J — лише поступальна частина, 4,5 J — лише обертальна, а 18 J використовує c = 1, значення для обруча.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
- Легкий: момент інерції. Стрижень відносно зсунутої осі, маятник зі стрижня та кулі або диска, кінетична енергія маховика або момент чи час, потрібні для розкручування маховика.
- Середній: ΣM = I·α, робота й потужність. Стрижень, відпущений із горизонталі, вантаж на шківі, оберти загальмованого маховика, момент чи потужність вала або швидкість стрижня, що гойдається.
- Складний: кочення й момент імпульсу. Куля, циліндр чи обруч, що котиться по схилу, тертя, потрібне для кочення, частка обертальної енергії, кільце, скинуте на диск, що обертається, людина, що підтягує гантелі, або куля, що влучає у підвішений стрижень.
Для загальмованого маховика гальмо виконує роботу, що дорівнює запасеній енергії: T·θ = ½·I·ω². Поділіть θ на 2π, щоб отримати оберти.
Стрижень, закріплений шарніром на одному кінці й відпущений із горизонталі, має α = 3·g/(2·L) одразу після відпускання. Його вільний кінець прискорюється з 1,5·g.
Для кулі, що застрягає у стрижні, момент імпульсу відносно осі зберігається: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω.
Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку