Теплопровідність: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: закон Фур’є · термічний опір · коефіцієнт теплопередачі
Безкоштовні задачі з теми Теплопровідність з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: одношарова стіна, багатошарова стіна, стіна з конвекцією.
Безкоштовна задачаЛегка
Стіна (пінополістирол) має товщину 10 mm і площу 6 m². Її поверхні підтримуються при 24 °C і -11 °C. Знайдіть тепловий потік теплопровідністю Q̇ через стіну.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
Тепло завжди тече від гарячого до холодного. Усередині твердого тіла воно поширюється теплопровідністю: швидко коливні частинки з теплої сторони передають енергію сусідам.
Зимового дня тепло залишає теплу кімнату через стіни саме так. Скільки його витікає, залежить від різниці температур, площі стіни, її товщини й матеріалу.
Матеріали дуже різняться. Коефіцієнт теплопровідностіk, у W/(m·K), показує, наскільки легко тепло проходить:
Бетон: близько 1,4 W/(m·K). Цегла: близько 0,72.
Дерево: близько 0,17.
Мінеральна вата: близько 0,04. Пінополістирол: близько 0,035.
Низький k означає хороший ізолятор. Тому в будинках усередині стіни є шар вати або піни.
У цій темі температури не змінюються з часом. Це називається стаціонарною теплопровідністю.
Самоперевірка Яка стіна пропускає найменше тепла, якщо всі завтовшки 100 mm?
Бетон (k = 1,4)
Дерево (k = 0,17)
Мінеральна вата (k = 0,04)
Цегла (k = 0,72)
Відповідь: Мінеральна вата (k = 0,04). Тепловий потік пропорційний k. Мінеральна вата має найменший коефіцієнт теплопровідності, тож ізолює найкраще.
2Закон Фур’є та термічний опір
Для плоскої стіни товщиною L і площею A з поверхнями при T1 та T2 тепловий потік у ватах задається законом Фур’є:
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
Температура спадає по прямій лінії крізь стіну. Густина теплового потоку — це потік на квадратний метр: q″ = Q̇ / A, у W/m².
Корисно уявити стіну як резистор, так само як в електричному колі. Різниця температур рухає тепло, а стіна чинить йому опір:
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
Термічний опір R вимірюється в K/W. Товстіша стіна або менший k дає більший опір і менші втрати тепла. Різниця температур у °C має те саме число, що й у K.
Самоперевірка Бетонна стіна (k = 1,4 W/(m·K)) завтовшки 200 mm має площу 10 m². Її поверхні мають 20 °C і 0 °C. Який тепловий потік?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Відповідь: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. Якщо взяти L = 200 (mm), вийде 1,4 W, а якщо забути площу — 140 W.
3Стіни з кількома шарами
Справжня стіна має шари: цегла, утеплювач, гіпсокартон. Те саме тепло проходить крізь кожен шар один за одним, тож шари — це послідовні опори. Додайте їх:
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Кожен шар бере частку загального падіння температури пропорційно до свого опору: ΔT1 = Q̇ · R1. Шар утеплювача бере найбільше падіння.
Повітря біля стіни теж чинить опір теплу. Цей опір конвекції дорівнює R = 1/(h · A), де h — коефіцієнт конвекції в W/(m²·K). Додайте його послідовно, як шар.
Коефіцієнт теплопередачі U підсумовує всю стіну, враховуючи повітряні плівки, як тепловий потік на m² на кельвін:
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4Метод крок за кроком
Накресліть стіну з її шарами. Запишіть товщину кожного шару в метрах і поруч k.
Обчисліть опір кожного шару: R = L/(k·A). Якщо з якогось боку повітря, додайте R = 1/(h·A) для цього боку.
Щоб знайти температуру всередині стіни, почніть від відомої температури й віднімайте Q̇ · R для кожного шару, який перетинаєте.
Хороша перевірка: падіння температури на всіх шарах у сумі дають повну різницю температур.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Стіна складається з 200 mm цегли (k = 0,72 W/(m·K)) і 50 mm мінеральної вати (k = 0,04 W/(m·K)) і має площу 10 m². Зовнішні поверхні мають 20 °C і 0 °C. Знайдіть тепловий потік крізь стіну та температуру на межі між шарами.
1
Накресліть стіну
Тепло тече від боку з 20 °C крізь цеглу, потім крізь вату до боку з 0 °C.
2
Опір кожного шару
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
Тонкий шар вати чинить набагато більший опір, ніж товста цегла.
3
Повний опір і тепловий потік
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Температура на межі
Почніть від теплої поверхні й перетніть цеглу:
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Перевірте відповідь
Падіння на шарі вати становить 130,9 · 0,125 = 16,4 K, від 16,4 °C до 0 °C. Два падіння, 3,6 K + 16,4 K, у сумі дають повні 20 K.
Відповідь
Q̇ ≈ 131 W, а межа шарів має Ti ≈ 16,4 °C.
6Типові помилки
Залишати товщину в mm. Значення k задані на метр, тож L має бути в метрах.
Усереднювати значення k двох шарів або додавати їх. Додавайте натомість опори L/(k·A).
Забувати площу: R = L/(k·A) для всієї стіни, R = L/k для одного квадратного метра.
Починати з хибного боку, коли шукаєте температуру на межі. Температура завжди спадає в напрямку теплового потоку.
Не враховувати повітряні плівки (1/(h·A)), коли задано температури повітря всередині й зовні.
Самоперевірка Один квадратний метр стіни має 100 mm мінеральної вати (k = 0,04) і 100 mm цегли (k = 0,72). Різниця між поверхнями 20 K. Який тепловий потік?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Відповідь: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, тож Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Усереднення k дає 38 W, а ігнорування цегли — 8 W.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: одна стіна. Знайдіть тепловий потік Q̇ або густину теплового потоку q″ за законом Фур’є.
Середньо: складена стіна з двох шарів. Знайдіть тепловий потік або температуру Ti на межі між шарами.
Складно: стіна з конвекцією з обох боків, між повітрям кімнати й зовнішнім повітрям. Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U, тепловтрати або температуру Ts внутрішньої поверхні.
Для температури внутрішньої поверхні почніть від повітря кімнати й перетніть лише внутрішню повітряну плівку: Ts = Troom − Q̇ / (hi · A).
Приклад: стіна вище з h = 8 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) зовні має Rtotal = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, тож U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Стіна (деревина) має товщину 150 mm і площу 6 m². Її поверхні підтримуються при 20 °C і -9 °C. Знайдіть тепловий потік теплопровідністю Q̇ через стіну.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Знайти: Q̇(W)
Показати підказки
Закон Фур’є для плоскої стіни: Q̇ = k·A·ΔT/L.
Переведіть товщину в метри, щоб одиниці k збігалися.
ΔT = 29 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Закон Фур’є
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Відповідь
Q̇ = 197,2 W
Приклад 2Середня
Стіна складається з 50 mm шару (мінеральна вата) і 50 mm шару (деревина), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 25 °C і 5 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Знайти: Ti(°C)
Показати підказки
Кожен шар — це термічний опір R = L/(kA). Послідовно вони додаються.
Через обидва шари проходить той самий Q̇, тож Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Температура на межі
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Відповідь
Ti = 8,81 °C
Приклад 3Складна
Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 25 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -7 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Знайти: U(W/(m²·K))
Показати підказки
Додайте чотири послідовні опори: внутрішню конвекцію, два теплопровідні шари та зовнішню конвекцію.
U — тепловий потік на одиницю площі на градус: U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Коефіцієнт теплопередачі
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Відповідь
U = 0,3492 W/(m²·K)
Запитання й відповіді
Теплопровідність: що це?
Тепло завжди тече від гарячого до холодного. Усередині твердого тіла воно поширюється теплопровідністю: швидко коливні частинки з теплої сторони передають енергію сусідам.
Зимового дня тепло залишає теплу кімнату через стіни саме так. Скільки його витікає, залежить від різниці температур, площі стіни, її товщини й матеріалу.
Теплопровідність: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Теплопровідність: що ви тренуєте?
Легка: одношарова стіна
Середня: багатошарова стіна
Складна: стіна з конвекцією
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.