Інші назви: кручення · кут закручування · дотичні напруження
Безкоштовні задачі з теми Кручення валів з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: дотичне напруження, кут закручування, передача потужності.
Безкоштовна задачаЛегка
Суцільний круглий вал передає крутний момент T. Знайдіть найбільше дотичне напруження τmax у валу.
Вал — це обертовий стрижень, що передає крутильне зусилля: карданний вал автомобіля, шпиндель дриля, вісь насоса.
Крутильне зусилля — це крутний момент T. Це сила, помножена на плече, на якому вона діє, у N·m. Натискання 200 N на кінець ключа завдовжки 0,5 m дає T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Вал, навантажений крутним моментом, перебуває в крученні. Він трохи закручується, а його матеріал сприймає дотичне напруження τ (тау): сусідні шари валу намагаються ковзнути один повз одного.
У проєктуванні важливі два запитання: чи достатньо низьке дотичне напруження (міцність) і чи достатньо малий кут закручування (жорсткість)?
Самоперевірка Ви натискаєте 200 N на кінець ключа завдовжки 0,5 m під прямим кутом. Який крутний момент ви прикладаєте?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Відповідь: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Ділення на 0,5 дає 400; пропуск плеча дає 200.
2Дотичне напруження і полярний момент
Центр валу майже не деформується. Чим далі точка від центра, тим більше вона зсувається. Тому дотичне напруження зростає лінійно з радіусом, від нуля в центрі до максимуму на поверхні.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Тут ρ (ро) — відстань від центра, r = d/2 — зовнішній радіус, а J — полярний момент інерції площі. J вимірює, наскільки добре переріз чинить опір закручуванню:
Для суцільного валу діаметром d і для порожнистого валу із зовнішнім діаметром do і внутрішнім діаметром di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Для суцільного валу дві формули об’єднуються в одну коротку:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Працюйте в N·mm і mm, щоб напруження виходило в N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.
Самоперевірка У суцільному валу τmax = 60 MPa. Яке дотичне напруження посередині між центром і поверхнею?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Відповідь: 30 MPa. Напруження зростає лінійно з ρ, тож за ρ = r/2 воно становить половину τmax: 30 MPa. Воно не однакове скрізь і дорівнює нулю лише в центрі.
3Кут закручування і потужність
Вільний кінець валу повертається на кут закручування φ (фі). Довший або тонший вал закручується більше; жорсткіший матеріал закручується менше:
φ = T · L / (G · J)
G — це модуль зсуву матеріалу: близько 80 GPa для сталі та 26 GPa для алюмінію. Формула дає φ у радіанах. Помножте на 180/π, щоб отримати градуси.
Вали часто передають потужність від двигуна. Потужність — це крутний момент, помножений на кутову швидкість, де швидкість в rpm спершу треба перевести в rad/s:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Тож запитання, що дає kW і rpm, починається з T = P/ω, де P у ватах.
Самоперевірка Вал обертається з ω = 100 rad/s і передає 5 kW. Який крутний момент він несе?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Відповідь: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 виходить із використання 5 замість 5000 W; 20 ділить ω на P.
4Метод крок за кроком
Якщо задано потужність і швидкість, спершу знайдіть крутний момент: ω = 2πN/60, потім T = P/ω.
Переведіть у N і mm: T у N·mm (N·m × 1000), L у mm, G у MPa (GPa × 1000).
Знайдіть J: π·d⁴/32 для суцільного валу, π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого.
Дотичне напруження: τmax = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах, потім × 180/π, якщо запитано градуси.
Для запитання про проєктування (знайти d) прирівняйте τmax = 16T/(πd³) до допустимого напруження й розв’яжіть відносно d.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Суцільний сталевий вал (G = 80 GPa) діаметром 40 mm і довжиною 1 m закріплений одним кінцем. На вільному кінці діє крутний момент 500 N·m. Знайдіть τmax і кут закручування φ у градусах.
1
Подивіться на вал і переведіть одиниці
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Полярний момент інерції
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Найбільше дотичне напруження
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
Коротка формула дає те саме: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Трохи менше півтора градуса на метр сталевого валу — розумна величина.
Відповідь
τmax = 39,8 MPa і φ = 1,42°.
6Типові помилки
Використовувати діаметр замість радіуса в τ = T·r/J. Це подвоює напруження.
Забувати перевести N·m у N·mm, через що напруження виходить у 1000 разів меншим.
Використовувати rpm безпосередньо в P = T·ω. Спершу переведіть у rad/s за ω = 2πN/60.
Давати φ у радіанах, коли запитано градуси, або навпаки.
Для порожнистого валу: віднімати діаметри перед піднесенням до четвертого степеня. Використовуйте do⁴ − di⁴.
Самоперевірка Порожнистий вал із зовнішнім діаметром 40 mm має J = 200 000 mm⁴. Він несе T = 1000 N·m. Чому дорівнює τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Відповідь: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Використання r = 40 mm (діаметр) дає 200 MPa; якщо лишити T у N·m, вийде 0,1 MPa; якщо забути r — 5.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: дотичне напруження. Суцільний вал діаметром d несе T; знайдіть τmax. Варіанти питають напруження на заданому радіусі або допустимий крутний момент.
Середньо: кут закручування. Вам також дають L і G; знайдіть φ у градусах. Варіанти використовують порожнистий або східчастий вал.
Складно: передача потужності. Задано потужність у kW і швидкість у rpm; знайдіть крутний момент, потім τmax у порожнистому валу або найменший діаметр для допустимого напруження.
Перш за все запишіть крутний момент у N·mm поруч із задачею. Це число використовує кожен наступний крок.
Суцільний вал діаметром 40 mm передає обертовий момент 750 N·m. Знайдіть дотичне напруження τρ на відстані 15 mm від центра.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Знайти: τρ(MPa)
Показати підказки
Дотичне напруження в круглому валу пропорційне відстані від центра: τ = T·ρ/J.
Скрізь використовуйте N і mm: T у N·mm, L у mm, G у MPa (GPa × 1000), J у mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Дотичне напруження на відстані ρ
Для порівняння, на поверхні τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Відповідь
τρ = 44,76 MPa
Приклад 2Середня
Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Знайти: φ(°)
Показати підказки
Скористайтеся φ = TL/(GJ), що дає радіани.
Скрізь використовуйте N і mm: T у N·mm, L у mm, G у MPa (GPa × 1000), J у mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Кут закручування
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Відповідь
φ = 6,576°
Приклад 3Складна
Суцільний вал має передавати 15 kW при 1000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Знайти: d(mm)
Показати підказки
Момент через потужність: T = P/ω, де ω = 2πN/60 у rad/s.
Прирівняйте τmax = 16T/(πd³) до допустимого напруження й виразіть d.
T = 143,2 N·m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Крутний момент
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Діаметр за допустимим напруженням
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Відповідь
d = 21,35 mm
На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.
Запитання й відповіді
Запитання й відповіді
Кручення валів: що це?
Крутильне зусилля — це крутний момент T. Це сила, помножена на плече, на якому вона діє, у N·m. Натискання 200 N на кінець ключа завдовжки 0,5 m дає T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Вал, навантажений крутним моментом, перебуває в крученні. Він трохи закручується, а його матеріал сприймає дотичне напруження τ (тау): сусідні шари валу намагаються ковзнути один повз одного.
Кручення валів: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Кручення валів: які помилки найпоширеніші?
Використовують діаметр замість радіуса в τ = T·r/J.
Забувають перевести rpm у rad/s.
Дають кут закручування в радіанах, коли питають у градусах.
Кручення валів: що ви тренуєте?
Легка: дотичне напруження
Середня: кут закручування
Складна: передача потужності
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.