Коло Мора й перетворення напружень: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: коло Мора · головні напруження · плоский напружений стан

Безкоштовні задачі з теми Коло Мора й перетворення напружень з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: головні напруження, найбільше дотичне напруження й головний напрямок, напруження на похилій площадці.

Безкоштовна задачаЛегка
σx​ = 90σy​ = −20MPaелемент у головних осях

У точці навантаженої деталі головні напруження в площині σ₁ = 90 MPa і σ₂ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σavg, що діє на площадках максимального дотичного напруження в площині.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Коло Мора й перетворення напруженьТренуйтеся зараз: Коло Мора й перетворення напруженьБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаголовні напруження
  2. Середнянайбільше дотичне напруження й головний напрямок
  3. Складнанапруження на похилій площадці

Як розв’язувати задачі на тему «Коло Мора й перетворення напружень»

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Типові помилки

  • Використовують θ замість 2θ у формулах перетворення.
  • Додають (σx − σy)/2 і τxy замість того, щоб об’єднати їх за теоремою Піфагора.
  • Помиляються з правилом знаків для дотичного напруження.

Основні формули

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Вивчайте тему «Коло Мора й перетворення напружень» з нуля

Перед цим: Осьове напруження й деформація

1Чому напруження залежить від напрямку

В уроці про осьове навантаження напруження було одним числом: сила, поділена на площу. Але напруження в точці залежить від напрямку перерізу, який ви розглядаєте.

Скручуйте шматок крейди, доки він не зламається. Він ламається по спіралі під 45°, а не поперек. На цій площині під 45° розтяг найбільший, а крейда слабка на розтяг.

Щоб описати напруження в одній точці, інженери малюють крихітний квадрат, елемент напруження, з напруженнями на його гранях:

σx​σy​τxy​xy
  • σx і σy — це нормальні напруження, перпендикулярні до граней. Додатне означає розтяг (стрілки назовні), від’ємне — стиск.
  • τxy — це дотичне напруження, уздовж граней. Воно намагається перетворити квадрат на ромб.

Повертайте квадрат, і напруження на його гранях змінюються. Цей урок показує, як знайти їх для кожного напрямку і які напрямки найнебезпечніші.

Самоперевірка У точці σx = −40 MPa. Що це означає?
  1. Дотичне напруження 40 MPa
  2. Розтяг 40 MPa в напрямку x
  3. Стиск 40 MPa в напрямку x
  4. Стиск 40 MPa в напрямку y

Відповідь: Стиск 40 MPa в напрямку x. За звичайним правилом знаків розтяг додатний, тож від’ємне σx — це стиск, що діє на грані, нормальні до x.

2Коло Мора

Коло Мора — це картина всіх напрямків одночасно. Кожна точка кола — це один можливий переріз через точку в деталі.

Відкладіть нормальне напруження σ праворуч, а дотичне τ угору. Потім позначте дві точки:

  • точка x у (σx, τxy): напруження на грані, нормальній до x,
  • точка y у (σy, −τxy): напруження на грані, нормальній до y.

Коло проходить через обидві точки. Його центр C лежить на осі σ посередині між ними. Його радіус R випливає з теореми Піфагора:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Там, де коло перетинає вісь σ, дотичне напруження дорівнює нулю. Ці два значення — головні напруження, найбільше й найменше нормальні напруження в точці. Верх кола — найбільше дотичне напруження в площині:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Самоперевірка σx = 50 MPa, σy = 10 MPa і τxy = 15 MPa. Чому дорівнює σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Відповідь: 55 MPa. C = 30 MPa і R = √(20² + 15²) = 25 MPa, тож σ1 = 55 MPa. 65 додає 20 + 15 замість теореми Піфагора; 50 ігнорує дотичне напруження.

3Кути: на колі вони подвоюються

Поворот елемента на кут θ зміщує його точку на колі Мора на 2θ у тому самому напрямку. Проти годинникової стрілки — додатний.

Напрямок σ1 — це кут θp від осі x, що знаходиться з:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Стежте за чвертю. Якщо σx − σy від’ємне, додайте 180° до 2θp, коли τxy > 0, або відніміть 180°, коли τxy < 0. Потім поділіть навпіл.

Площини максимального зсуву лежать під 45° до головних напрямків (90° на колі).

Для площини, нормаль якої повернута на θ від осі x, напруження дорівнюють:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Самоперевірка У точці tan 2θp = 1 і σx − σy додатне. Чому дорівнює θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Відповідь: 22,5°. 2θp = 45°, тож θp = 22,5°. Відповідь 45° забуває поділити кут із кола навпіл. −67,5° — це напрямок σ2, на 90° осторонь.

4Метод крок за кроком

  1. Запишіть σx, σy і τxy зі знаками: розтяг додатний, стиск від’ємний.
  2. Знайдіть центр C = (σx + σy)/2.
  3. Знайдіть радіус R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Головні напруження: σ1 = C + R і σ2 = C − R. Найбільше дотичне напруження в площині: τmax = R.
  5. Напрямки: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), перевірте чверть, потім поділіть навпіл.
  6. Для заданої площини θ: використайте рівняння для σθ і τθ з 2θ.

Швидкий ескіз кола, навіть грубий, показує знаки та те, яка точка є σ1.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

У точці σx = 80 MPa, σy = 20 MPa і τxy = 40 MPa. Знайдіть головні напруження, τmax, напрямок θp для σ1 та нормальне напруження на площині, повернутій на 45° проти годинникової стрілки.

1

Подивіться на елемент

xy

Обидва нормальні напруження — розтяг. Дотичне напруження додатне.

2

Центр і радіус

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Головні напруження та максимальний зсув

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Головний напрямок

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy додатне, тож поправка не потрібна: 2θp = 53,1° і θp = 26,6° проти годинникової стрілки від x.

5

Площина, повернута на 45°

За θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 і sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Перевірте відповідь

Сума σx + σy = 100 MPa дорівнює σ1 + σ2 = 100 MPa. Ця сума однакова за будь-якого повороту, тож це швидка перевірка.

Крім того, 90 MPa лежить між σ2 = 0 і σ1 = 100 MPa, як і має бути для кожного нормального напруження.

Відповідь

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° і σ45° = 90 MPa.

6Типові помилки

  • Додавати (σx − σy)/2 і τxy безпосередньо. Радіус поєднує їх за теоремою Піфагора.
  • Використовувати θ замість 2θ у рівняннях перетворення або забувати поділити навпіл кут, зчитаний із кола.
  • Загубити мінус: стискальне напруження треба підставляти як від’ємне число.
  • Відкладати точку y у (σy, +τxy). Вона в −τxy, на протилежному боці від центра відносно x.
  • Пропустити чверть для 2θp, коли σx < σy.
Самоперевірка σx = 60 MPa, σy = 0 і τxy = 40 MPa. Яке максимальне дотичне напруження в площині?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Відповідь: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 додає 30 + 40; 30 ігнорує дотичне напруження; 40 — це лише τxy.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: головні напруження. За σx, σy і τxy знайдіть σ1 або σ2. Варіанти: чистий зсув або осьовий стрижень, розрізаний під кутом.
  • Середньо: максимальний зсув і головний напрямок. Знайдіть τmax = R або кут θp між −90° і 90°.
  • Складно: напруження на похилій площині. Використайте рівняння для σθ чи τθ з 2θ. Варіанти поєднують осьове навантаження й кручення або використовують головні напруження в перевірці міцності, як-от за фон Мізесом чи Трескою.

Спершу запишіть C і R. Майже на кожне запитання цієї теми відповідають із цих двох чисел.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

У точці σₓ = 30 MPa і σᵧ = 50 MPa, а також є деяке дотичне напруження. На елементі, повернутому на 30°, нормальне напруження в повернутому напрямку x′ дорівнює 87 MPa. Знайдіть нормальне напруження σy′ у повернутому напрямку y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Знайти: σy′ (MPa)

Показати підказки
  1. τₓᵧ і формули перетворення не потрібні.
  2. Сума нормальних напружень на двох перпендикулярних площадках однакова для будь-якої орієнтації (центр кола Мора не зміщується).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Перший інваріант напружень

Точки x′ і y′ лежать на протилежних кінцях діаметра, тож їхнє середнє завжди дорівнює центру C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Відповідь

σy′ = −7 MPa
Приклад 2Середня
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Знайти: θp (°)

Показати підказки
  1. Побудуйте коло Мора: точка x у (σₓ, τₓᵧ), точка y у (σᵧ, −τₓᵧ), центр C посередині між ними.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Стежте за чвертю.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Кут на елементі

θp = −54,22°

Відповідь

θp = −54,22°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

Приклад 3Складна
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 500 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 60° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τn|, що діє вздовж зварного шва.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Знайти: |τn| (MPa)

Показати підказки
  1. Колове напруження σh = pr/t, осьове напруження σa = pr/(2t). На осьових і колових площадках дотичних напружень немає.
  2. Дотичне напруження вздовж шва: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Відповідь

|τn| = 27,06 MPa

Запитання й відповіді

Коло Мора й перетворення напружень: що це?

В уроці про осьове навантаження напруження було одним числом: сила, поділена на площу. Але напруження в точці залежить від напрямку перерізу, який ви розглядаєте.

Скручуйте шматок крейди, доки він не зламається. Він ламається по спіралі під 45°, а не поперек. На цій площині під 45° розтяг найбільший, а крейда слабка на розтяг.

Коло Мора й перетворення напружень: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Коло Мора й перетворення напружень: які помилки найпоширеніші?
  • Використовують θ замість 2θ у формулах перетворення.
  • Додають (σx − σy)/2 і τxy замість того, щоб об’єднати їх за теоремою Піфагора.
  • Помиляються з правилом знаків для дотичного напруження.
Коло Мора й перетворення напружень: що ви тренуєте?
  • Легка: головні напруження
  • Середня: найбільше дотичне напруження й головний напрямок
  • Складна: напруження на похилій площадці

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Осьове напруження й деформація

Калькулятори

Калькулятор кола Мора

Курси з цією темою

Опір матеріалівДеталі машинПідготовка до іспиту FE Mechanical

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балокРами та механізмиОсьове напруження й деформаціяКручення валівРух тіла, кинутого під кутомРобота й енергіяОбертання твердого тілаМеханічні коливанняТеплові машини й холодильникиГазові цикли теплових двигунівНерозривність і БернулліТертя в трубах і втрати напоруНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Коло Мора й перетворення напружень» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Коло Мора й перетворення напруженьТренуйтеся зараз: Коло Мора й перетворення напруженьБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.