Осьове напруження й деформація: задачі з покроковими розв’язками

Q: Осьове напруження й деформація: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Q: Осьове напруження й деформація: що ви тренуєте?

Легка: нормальне напруження Середня: деформація й видовження Складна: ступінчастий стрижень Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: розтяг і стиск · закон Гука · видовження стержня

Безкоштовні задачі з теми Осьове напруження й деформація з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: нормальне напруження, деформація й видовження, ступінчастий стрижень.

Безкоштовна задачаЛегка

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть напруження стиску σ_r у стрижні.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Осьове напруження й деформація Тренуйтеся зараз: Осьове напруження й деформаціяБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легканормальне напруження
Середнядеформація й видовження
Складнаступінчастий стрижень

Основні формули

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Вивчайте тему «Осьове напруження й деформація» з нуля

1Що таке напруження

Потягніть сталевий стрижень, і він чинитиме опір. Чи зламається він, залежить не лише від сили, а й від того, скільки матеріалу ділить цю силу.

Тонкий дріт і товстий трос можуть нести однакове навантаження. Тонкий дріт значно ймовірніше вийде з ладу, бо кожен його квадратний міліметр несе більше.

Нормальне напруження σ (сигма) — це сила на одиницю площі поперечного перерізу. Сила P діє вздовж осі стрижня, тому таке навантаження називають осьовим.

σ = P / A

Інженери працюють у ньютонах і міліметрах. Один ньютон на квадратний міліметр — це один мегапаскаль:

1 N/mm² = 1 MPa

Тож спершу переведіть kN у N (× 1000). Для круглого стрижня діаметром d площа — це круг:

A = π · d² / 4

Самоперевірка Стрижень із поперечним перерізом 100 mm² несе 10 kN. Яке напруження?

0,1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

Відповідь: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa виходить, якщо забути перевести kN у N.

2Деформація та закон Гука

Під навантаженням стрижень також трохи видовжується. Ця зміна довжини — подовження δ (дельта).

Відносна деформація ε (епсілон) — це подовження, поділене на початкову довжину. Вона безрозмірна, бо це mm на mm:

ε = δ / L

Деформації в металах крихітні, тож їх часто подають у мікродеформаціях: 1 µε = 10⁻⁶. Деформація 0,0008 — це 800 µε.

Для більшості матеріалів напруження й деформація пропорційні, поки навантаження не надто велике. Це закон Гука:

σ = E · ε

E — це модуль Юнга, жорсткість матеріалу. Сталь має E ≈ 200 GPa, алюміній близько 70 GPa. Оскільки 1 GPa = 1000 MPa, сталь має E = 200 000 MPa.

Поєднання трьох формул дає подовження безпосередньо:

δ = P · L / (A · E)

Самоперевірка Сталевий стрижень (E = 200 GPa) має напруження 200 MPa. Яка деформація?

0,001
0,1
1000
1

Відповідь: 0,001. Переведіть E в MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Тоді ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Ділення 200 на 200 без перетворення дає 1, що надто багато.

3Метод крок за кроком

Запишіть усі значення в N і mm: P у N (kN × 1000), довжини в mm (m × 1000), E в MPa (GPa × 1000).
Знайдіть площу: A = π·d²/4 для круглого стрижня.
Знайдіть напруження: σ = P/A, в MPa.
Знайдіть деформацію: ε = σ/E. Помножте на 10⁶, якщо відповідь потрібна в µε.
Знайдіть подовження: δ = ε·L, в mm.

Зупиняйтеся на кроці, якого вимагає запитання. Більшість запитань використовують лише перші два-три кроки.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Сталевий стрижень (E = 200 GPa) має діаметр 20 mm і довжину 2 m. Він несе осьове розтягувальне навантаження 50 kN. Знайдіть напруження, деформацію та подовження.

Огляньте стрижень і переведіть одиниці

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm і E = 200 GPa = 200 000 MPa.

Площа

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²

Напруження

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Це значно нижче за міцність звичайної сталі (близько 250 MPa), тож закон Гука застосовний.

Деформація

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε

Видовження

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm

Перевірте відповідь

Скористайтеся об’єднаною формулою як другим шляхом:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Сталевий стрижень довжиною 2 m, що видовжується приблизно на 1,6 mm, — реалістично: деформації сталі залишаються значно нижчими за 0,2 %.

Відповідь

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε і δ = 1,59 mm.

5Стрижні з кількома ділянками

Східчастий стрижень складається з ділянок різних діаметрів, а іноді й різних матеріалів.

Розітніть стрижень будь-де й погляньте на частину праворуч від розрізу. Її тягне лише P, тож кожна ділянка несе ту саму силу P.

Площі різні, тож напруження різні. Найтонша ділянка має найбільше напруження.

Кожна ділянка видовжується самостійно, зі своїми A, L і E. Повне подовження — це сума:

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

Самоперевірка Східчастий стрижень несе 20 kN. Ділянка 1 має A = 400 mm², ділянка 2 має A = 100 mm². Яке найбільше напруження в стрижні?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

Відповідь: 200 MPa. Обидві ділянки несуть 20 kN. Тонка має 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa — це товста ділянка, 40 MPa хибно додає площі, а 250 MPa хибно додає два напруження.

6Типові помилки

Забути перевести kN у N, через що напруження в 1000 разів замале.
Використовувати E в GPa поруч із напруженням у MPa. Записуйте E в MPa (GPa × 1000).
Використовувати π·d² або π·d замість π·d²/4 для площі круга.
Залишати L у метрах, коли δ має вийти в міліметрах.
Ділити P між ділянками східчастого стрижня. Кожна ділянка несе повну P.

Самоперевірка Стрижень з A = 30 mm² несе P = 6 kN. Яке напруження?

0,2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

Відповідь: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa використовує 6 замість 6000 N; 5 MPa ділить площу на силу; 180 їх перемножує.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легкі: нормальне напруження. Круглий стрижень діаметром d несе P; знайдіть σ = P/A.
Середні: деформація й подовження. Вам також дають L і E матеріалу; знайдіть ε (в µε) або δ (в mm).
Складні: східчастий стрижень із двома ділянками, можливо з різних матеріалів. Знайдіть повне подовження або найбільше напруження.

Записуйте одиниці біля кожного числа. Майже всі хибні відповіді в цій темі помиляються в 1000 разів.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть напруження стиску σ_r у стрижні.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Знайти: σ_r (MPa)

Показати підказки

Жорсткі плити: стрижень і труба вкорочуються однаково, тож ε в обох однакова.
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Спільна деформація

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Напруження в стрижні

σ_r = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Відповідь

σ_r = 70,74 MPa

Приклад 2Середня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Знайти: ε (µε)

Показати підказки

Поєднайте три співвідношення: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
Переведіть E у MPa (GPa × 1000), щоб воно відповідало напруженню в MPa, а L — у mm.
σ = 31,83 MPa.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Відповідь

ε = 318,3 µε

Приклад 3Складна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Знайти: σ₂ (MPa)

Показати підказки

Стик зміщується однаково для обох ділянок: одна подовжується, інша вкорочується.
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

Напруження

σ₂ = 6942/706,9 = 9,821 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 9,821 MPa

Запитання й відповіді

Осьове напруження й деформація: що це?

Осьове напруження й деформація: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Осьове напруження й деформація: які помилки найпоширеніші?

Два матеріали ділять не напруження порівну, а деформацію. Жорсткіший напружений сильніше.
Труба сприймає частину навантаження.
Це напруження в трубі.

Осьове напруження й деформація: що ви тренуєте?

Легка: нормальне напруження
Середня: деформація й видовження
Складна: ступінчастий стрижень

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Коло Мора й перетворення напружень Кручення валів

Калькулятори

Калькулятор осьового напруження й деформації Калькулятор теплового розширення

Курси з цією темою

Опір матеріалів Деталі машин Підготовка до іспиту FE Mechanical

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балок Рами та механізми Кручення валів Коло Мора й перетворення напружень Рух тіла, кинутого під кутом Робота й енергія Обертання твердого тіла Механічні коливання Теплові машини й холодильники Газові цикли теплових двигунів Нерозривність і Бернуллі Тертя в трубах і втрати напору Насоси й потужність насосів Теплопровідність Зубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Осьове напруження й деформація» з відповідями