Теплові машини й холодильники: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: ККД теплової машини · цикл Карно · тепловий насос
Безкоштовні задачі з теми Теплові машини й холодильники з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: перший закон для циклу, межа Карно, холодильники й теплові насоси.
Безкоштовна задачаЛегка
Тепловий насос з опалювальним коефіцієнтом 2,9 подає в будинок 17 kW теплоти. Знайдіть тепловий потік Q̇L, який він відбирає від зовнішнього повітря.
Вивчайте тему «Теплові машини й холодильники» з нуля
1Що таке теплова машина
Теплова машина перетворює тепло на роботу. Автомобільний двигун, парова турбіна на електростанції та реактивний двигун — усе це теплові машини.
Кожна теплова машина працює однаково. Вона бере тепло QH від чогось гарячого, перетворює його частину на роботу W, а решту QC скидає в щось холодне.
Гаряче й холодне місця називають резервуарами: полум’я, котел, зовнішнє повітря, річка. Вони такі великі, що їхні температури не змінюються.
Машина працює за циклом: після кожного оберту вона повертається в той самий стан. Тому енергія не може накопичуватися всередині. Що входить, те й виходить:
QH = W + QC
Самоперевірка Машина за цикл отримує 100 kJ тепла й виконує 40 kJ роботи. Скільки тепла вона віддає?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Відповідь: 60 kJ. Енергія на вході дорівнює енергії на виході: QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Додавання (140 kJ) вважає роботу вхідною величиною.
2ККД і межа Карно
Термічний ККД — це частка підведеного тепла, що стає роботою:
η = W / QH = 1 − QC / QH
Жодна машина не може перетворити все своє тепло на роботу. Завжди є тепло, яке треба відвести. Це другий закон термодинаміки.
Найкраща можлива машина між двома температурами — це ідеальна машина Карно. Її ККД залежить лише від температур резервуарів у кельвінах:
ηmax = 1 − TC / TH
Завжди спершу переводьте в кельвіни: T(K) = T(°C) + 273,15. З °C формула дає нісенітницю.
Реальна машина завжди має η < ηmax. Машина, що заявляє більше за межу Карно, неможлива.
Самоперевірка Який найвищий можливий ККД машини, що працює між 327 °C і 27 °C?
100%
50%
8,3%
91,7%
Відповідь: 50%. У кельвінах: 600,15 K і 300,15 K, тож ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50%. Якщо підставити значення в °C, вийде 1 − 27/327 = 91,7%, що хибно.
3Холодильники та теплові насоси
Холодильник — це машина, що працює навпаки. Робота W витрачається, а тепло перекачується з холодної сторони на гарячу.
Тепловий насос — та сама машина, але для опалення: він бере тепло із холодного зовнішнього повітря й віддає його в теплий дім. Енергетичний баланс і далі QH = W + QC.
Замість ККД використовують коефіцієнт ефективності (COP): те, що вам потрібно, поділене на роботу, за яку ви платите. Він зазвичай більший за 1.
Самоперевірка Тепловий насос віддає в дім 6 kW тепла, споживаючи 2 kW електрики. Скільки тепла він бере із зовнішнього повітря?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Відповідь: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. Його COP дорівнює 6/2 = 3, тож 3 kW — це COP, а не тепловий потік.
4Метод крок за кроком
Зобразіть пристрій між двома його резервуарами й накресліть стрілки для QH, QC і W. Вирішіть, чи це машина, чи холодильник / тепловий насос.
Запишіть енергетичний баланс QH = W + QC. Він справджується для кожного пристрою, ідеального чи ні. Потужності в kW працюють так само, як кількості в kJ.
Якщо температури задано, переведіть їх у кельвіни.
Використовуйте правильну величину: η = W/QH для машини, COPR = QC/W для холодильника, COPHP = QH/W для теплового насоса.
Для найкращого можливого пристрою використайте формулу Карно. Тоді невідоме тепло чи робота випливає з енергетичного балансу.
«Найбільша робота», «найвищий можливий ККД», «мінімальна споживана потужність» і «оборотний» — усе це вказує на межу Карно.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Теплова машина працює між гарячим резервуаром за 500 °C і холодним за 25 °C. За цикл вона отримує 3000 kJ тепла. Знайдіть найбільшу роботу, яку вона може виконати. Винахідник стверджує, що виконує 2000 kJ за цикл: чи це можливо?
1
Намалюйте машину
Найбільшу роботу дає ідеальна машина Карно між тими самими двома резервуарами.
2
Переведіть у кельвіни
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
ККД Карно
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
У найкращому разі 61,4% тепла може стати роботою.
4
Найбільша робота
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Перевірте відповідь
Ідеальна машина віддає QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ. Тоді W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, що збігається з підведеним теплом.
6
Оцініть твердження
2000 kJ — більше за 1843 kJ, які могла б дати навіть досконала машина. Твердження порушує другий закон, тож воно неможливе.
Відповідь
Wmax ≈ 1843 kJ за цикл (ηmax ≈ 61,4%), тож твердження про 2000 kJ неможливе.
6Типові помилки
Підставляти температури в °C у формули Карно. Завжди використовуйте кельвіни.
Використовувати ККД Карно для реальної машини, коли тепла задано. Тоді η = W/QH за фактичними числами.
Забувати, що холодильник також віддає роботу у вигляді тепла: QH = QC + W, тож кухня отримує більше тепла, ніж відводить холодильник.
Записувати ККД як 61,4 замість 0,614 у розрахунку.
Самоперевірка Який найвищий можливий COP холодильника, що тримає всередині 0 °C на кухні за 27 °C?
0,91
0
10,1
11,1
Відповідь: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. Якщо вгорі поставити TH, вийде значення для теплового насоса 11,1, а пряме використання 0 °C дає 0.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: перший закон для циклу. За двома з QH, W і QC знайдіть третю або ККД. Варіації використовують електростанції (MW), холодильники й теплові насоси із заданим COP.
Середньо: межа Карно. Знайдіть ηmax або Wmax за температурами резервуарів. Інші задачі просять ККД за другим законом (η/ηmax), температуру холодного резервуара оборотної машини або тепло, яке віддає оборотний холодильник.
Складно: холодильники й теплові насоси на межі Карно: знайдіть COPmax або мінімальну споживану потужність. Інші поєднують два пристрої або просять ентропію, згенеровану реальною машиною.
Для мінімальної споживаної потужності: спершу COPmax за температурами, потім Wmin = QH/COPHP,max або QC/COPR,max.
Для ентропії, згенерованої за цикл: Sgen = QC/TC − QH/TH, і вона має бути нульовою або додатною.
Тепловий насос з опалювальним коефіцієнтом 5 подає в будинок 4 kW теплоти. Знайдіть тепловий потік Q̇L, який він відбирає від зовнішнього повітря.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Знайти: Q̇L(kW)
Показати підказки
Корисний результат теплового насоса — подана теплота: COPHP = Q̇H/Ẇ.
Енергетичний баланс циклу: Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Споживана потужність
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Теплота, відібрана ззовні
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Відповідь
Q̇L = 3,2 kW
Приклад 2Середня
Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 3100 kJ теплоти від резервуара з температурою 625 °C і віддає 977 kJ. Знайдіть температуру TL холодного резервуара в °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Знайти: TL(°C)
Показати підказки
Для оборотного циклу теплоти відносяться як абсолютні температури: QL/QH = TL/TH.
Використовуйте абсолютні температури: K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Абсолютна температура джерела
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Відношення теплот оборотного циклу
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Відповідь
TL = 9,912 °C
Приклад 3Складна
Тепловий насос підтримує в будинку 20 °C, коли надворі 2 °C, і подає в будинок 14 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Знайти: Ẇmin(kW)
Показати підказки
COP теплового насоса — це подана теплота, поділена на витрачену роботу: COP = QH/W. Оборотна межа — TH/(TH − TL).
Використовуйте абсолютні температури: K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.
Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Відповідь
Ẇmin = 0,8596 kW
Запитання й відповіді
Теплові машини й холодильники: що це?
Кожна теплова машина працює однаково. Вона бере тепло QH від чогось гарячого, перетворює його частину на роботу W, а решту QC скидає в щось холодне.
Гаряче й холодне місця називають резервуарами: полум’я, котел, зовнішнє повітря, річка. Вони такі великі, що їхні температури не змінюються.
Теплові машини й холодильники: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Теплові машини й холодильники: які помилки найпоширеніші?
COP = Q<sub>H</sub>/W дає роботу; теплота ззовні тоді Q<sub>L</sub> = QH − W.
Це підведена робота. Теплота ззовні Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
Для оборотного циклу Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> справджується лише для абсолютних температур. Спочатку переведіть у кельвіни, потім назад у °C.
Теплові машини й холодильники: що ви тренуєте?
Легка: перший закон для циклу
Середня: межа Карно
Складна: холодильники й теплові насоси
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.