Тертя в трубах і втрати напору: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Тертя в трубах і втрати напору з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: Число Рейнольдса, втрати напору за Дарсі–Вейсбахом, місцеві втрати й повний напір.

Безкоштовна задачаЛегка
V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Вода при 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) тече із середньою швидкістю 0,8 m/s трубою з внутрішнім діаметром 50 mm. Знайдіть число Рейнольдса Re.

V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Тертя в трубах і втрати напоруТренуйтеся зараз: Тертя в трубах і втрати напоруБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. ЛегкаЧисло Рейнольдса
  2. Середнявтрати напору за Дарсі–Вейсбахом
  3. Складнамісцеві втрати й повний напір

Основні формули

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії
ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість
V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати
hm = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K
вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску
Δp = ρ·g·hf
Два відкриті резервуари
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вивчайте тему «Тертя в трубах і втрати напору» з нуля

Перед цим: Нерозривність і Бернуллі

1Що таке втрата напору

Рівняння Бернуллі припускає, що рідина тече без тертя. У реальній трубі вода тре об стінку й сама об себе, і частина її енергії перетворюється на тепло.

Інженери вимірюють цю втрачену енергію як висоту стовпа рідини, яку називають втратою напору, у метрах. Втрата напору 3 м означає, що вода втратила стільки енергії, скільки потрібно, щоб піднятися на 3 м.

Це можна побачити на горизонтальній трубі з двома тонкими трубками (п’єзометрами). У нижній за течією трубці вода піднімається не так високо. Різниця — це втрата напору між ними.

hf​VLD

Через втрату напору довгим трубопроводам потрібні насоси, а садовий шланг дає слабший струмінь, коли він дуже довгий.

Втрата напору переходить у падіння тиску за формулою Δp = ρ · g · hf. Для води 1 м напору — це приблизно 9,81 kPa.

Самоперевірка Вода втрачає 2 м напору на тертя вздовж горизонтальної труби. Яке це падіння тиску? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 kPa
  2. 196 kPa
  3. 2 kPa
  4. 9,81 kPa

Відповідь: 19,6 kPa. Δp = ρ · g · hf = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,6 kPa. Кожен метр водяного напору — це приблизно 9,81 kPa.

2Число Рейнольдса: ламінарна чи турбулентна течія

Повільна течія в тонкій трубі рухається гладкими шарами. Це ламінарна течія. Швидка течія в широкій трубі вихрить і перемішується. Це турбулентна течія.

Число Рейнольдса показує, яка з них у вас. Воно порівнює поштовх рухомої рідини з її в’язкістю:

Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ
  • V: середня швидкість у m/s, V = Q/A.
  • D: внутрішній діаметр у m.
  • ν: кінематична в’язкість у m²/s (приблизно 1,0 × 10⁻⁶ m²/s для води за 20 °C), або μ: динамічна в’язкість у Pa·s, яку використовують разом із густиною ρ.

Re не має одиниці виміру. Нижче приблизно 2000 течія ламінарна. Вище приблизно 4000 вона турбулентна. Більшість водопровідних труб — турбулентні.

Самоперевірка Вода (ν = 1,0 × 10⁻⁶ m²/s) тече зі швидкістю 0,5 m/s у трубі з внутрішнім діаметром 20 mm. Яке число Рейнольдса?
  1. 0,01
  2. 10 000 000
  3. 10 000
  4. 5000

Відповідь: 10 000. Re = 0,5 · 0,020 / 10⁻⁶ = 10 000, тож течія турбулентна. Якщо підставити діаметр у мм, вийде 10 000 000, а якщо радіус — 5000.

3Втрати на тертя та місцеві втрати

Втрату на тертя вздовж прямої труби визначає рівняння Дарсі–Вайсбаха:

hf = f · (L / D) · V² / (2g)

Тут f — коефіцієнт тертя Дарсі (його дано в задачі, зазвичай від 0,015 до 0,03), а L — довжина труби. Доданок V²/(2g) — це швидкісний напір.

Втрата зростає пропорційно квадрату швидкості. Подвоєння витрати в тій самій трубі дає вчетверо більшу втрату на тертя.

Арматура, як-от коліна, клапани, вхід із резервуара та вихід у резервуар, спричиняє додаткові місцеві втрати. Кожна має коефіцієнт втрат K:

hm = ΣK · V² / (2g)

Типові значення: вхід із гострими краями K = 0,5, коліно 90° приблизно 0,3, вихід у резервуар K = 1,0. Повна втрата дорівнює hL = hf + hm.

Самоперевірка Витрата в трубі подвоюється. У скільки разів змінюється втрата напору на тертя, якщо f лишається тим самим?
  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. ½

Відповідь: 4. Подвоєна витрата означає подвоєну швидкість, а hf залежить від V². Тож втрата стає в 2² = 4 рази більшою.

4Метод крок за кроком

  1. Переведіть одиниці: діаметри в m, витрати в m³/s (L/s ÷ 1000).
  2. Знайдіть площу A = π·D²/4 і середню швидкість V = Q/A.
  3. Обчисліть швидкісний напір V²/(2g). Майже кожна формула цієї теми його використовує.
  4. Для режиму течії знайдіть Re = V·D/ν. Для втрати на тертя hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  5. Додайте місцеві втрати як ΣK·V²/(2g). За потреби перетворіть на падіння тиску за Δp = ρ·g·h.

L/D часто буває великим числом (1000 і більше). Спершу обчисліть його окремо, щоб побачити, що воно розумне.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вода тече з витратою 10 L/s трубою завдовжки 200 m із внутрішнім діаметром 100 mm. Використайте коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрату напору на тертя та падіння тиску.

1

Намалюйте й переведіть одиниці

hf​ = ?V200 m100 mm

Q = 10 L/s = 0,010 m³/s і D = 0,100 m.

2

Середня швидкість

A = π · 0,1² / 4 = 0,007854 m²
V = Q / A = 0,010 / 0,007854 = 1,273 m/s
3

Швидкісний напір і L/D

V² / (2g) = 1,273² / 19,62 = 0,0826 m
L / D = 200 / 0,1 = 2000
4

Дарсі–Вейсбах

hf = 0,02 · 2000 · 0,0826 = 3,31 m
5

Перепад тиску

На горизонтальній трубі втрачений напір проявляється як падіння тиску:

Δp = 1000 · 9,81 · 3,305 = 32 400 Pa ≈ 32,4 kPa
6

Перевірте відповідь

Re = 1,273 · 0,1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000, тож течія турбулентна, і сталий коефіцієнт тертя 0,02 цілком прийнятний.

Близько 1,7 m втрат на 100 m труби — нормальна величина для води зі швидкістю приблизно 1 m/s.

Відповідь

hf ≈ 3,31 m, що відповідає падінню тиску приблизно 32,4 kPa.

6Типові помилки

  • Забувати 2g або квадрат у V у швидкісному напорі V²/(2g).
  • Залишати діаметр у mm, через що L/D виходить у тисячу разів меншим.
  • Використовувати витрату Q замість швидкості V. Спершу перетворіть за V = Q/A.
  • Рахувати втрату на виході (K = 1,0) двічі: один раз як місцеву втрату, а вдруге як швидкісний напір струменя в резервуар.
  • Давати напір у метрах, коли запитано тиск, або навпаки.
Самоперевірка Вода тече зі швидкістю 1 m/s трубою завдовжки 100 m із внутрішнім діаметром 100 mm і f = 0,02. Яка втрата напору на тертя? (g = 9,81 m/s²)
  1. 0,00102 m
  2. 1,02 m
  3. 2,04 m
  4. 20 m

Відповідь: 1,02 m. hf = 0,02 · (100/0,1) · 1²/19,62 = 1,02 m. Якщо ділити на g замість 2g, вийде 2,04 m, якщо пропустити 2g — 20 m, а D у mm дає 0,00102 m.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: число Рейнольдса. За швидкістю або витратою, діаметром і в’язкістю (ν, або ρ і μ) знайдіть Re і скажіть, ламінарна течія чи турбулентна.
  • Середньо: Дарсі–Вайсбах. Знайдіть втрату напору на тертя hf або падіння тиску Δp для заданої труби, витрати та коефіцієнта тертя.
  • Складно: місцеві втрати та повний напір. Труба від резервуара з входом, колінами та клапаном. Знайдіть потрібну висоту резервуара для заданої витрати або витрату між двома резервуарами.

Для труби від резервуара, що закінчується вільним струменем, струмінь усе одно має свій швидкісний напір: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).

Між двома відкритими резервуарами різниця висот повністю йде на втрати: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), де вихід K = 1,0 входить до ΣK. Знайдіть V, потім Q = A·V.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Вода при 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) тече трубою з внутрішнім діаметром 50 mm з витратою 5 L/s. Знайдіть число Рейнольдса Re.

Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Знайти: Re

Показати підказки
  1. Спершу знайдіть середню швидкість: V = Q/A, де A = π·D²/4.
  2. Тоді Re = V·D/ν.
  3. A = 0,001963 m², V = 2,546 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Число Рейнольдса

Re = V·D/ν = 2,546·0,05/(1,31 × 10⁻⁶) = 97194

Відповідь

Re = 97194

Re вище 4000, тож течія турбулентна.

Приклад 2Середня
V = 1,1 m/sD = 100 mmL = 400 mf = 0,015

Вода тече із середньою швидкістю 1,1 m/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя hf.

V = 1,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

Знайти: hf (m)

Показати підказки
  1. Дарсі–Вейсбах: hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  2. Підставте D у метрах: D = 0,1 m.
  3. L/D = 4000, V²/(2g) = 0,06167 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Дарсі–Вейсбах

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 3,7 m

Відповідь

hf = 3,7 m
Приклад 3Складна
K = 2вільний вихідH = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,0223× коліно (K = 0,3)

Труба довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2

Знайти: H (m)

Показати підказки
  1. Рівняння енергії від поверхні резервуара (нерухомої) до виходу (атмосферний тиск, швидкість V).
  2. H = V²/(2g) + (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  3. V = 2,829 m/s, V²/(2g) = 0,408 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкість

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 11 + 3,4)·0,408 = 6,284 m

Відповідь

H = 6,284 m

Запитання й відповіді

Тертя в трубах і втрати напору: що це?

Рівняння Бернуллі припускає, що рідина тече без тертя. У реальній трубі вода тре об стінку й сама об себе, і частина її енергії перетворюється на тепло.

Інженери вимірюють цю втрачену енергію як висоту стовпа рідини, яку називають втратою напору, у метрах. Втрата напору 3 м означає, що вода втратила стільки енергії, скільки потрібно, щоб піднятися на 3 м.

Тертя в трубах і втрати напору: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Тертя в трубах і втрати напору: які помилки найпоширеніші?
  • Площа поперечного перерізу труби A = π·D²/4, а не π·D².
  • π·D²/4 використовує діаметр. Радіус у цій формулі дає площу вчетверо меншу.
  • Спершу переведіть L/s у m³/s: 1 L/s = 0,001 m³/s.
Тертя в трубах і втрати напору: що ви тренуєте?
  • Легка: Число Рейнольдса
  • Середня: втрати напору за Дарсі–Вейсбахом
  • Складна: місцеві втрати й повний напір

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Нерозривність і Бернуллі

Далі

Насоси й потужність насосів

Калькулятори

Калькулятор втрат напору в трубі (Дарсі–Вейсбах)Калькулятор числа Рейнольдса

Курси з цією темою

Механіка рідиниГідравліка й гідротехнікаПідготовка до іспиту FE MechanicalПідготовка до іспиту FE CivilПідготовка до іспиту FE Chemical

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балокРами та механізмиОсьове напруження й деформаціяКручення валівКоло Мора й перетворення напруженьРух тіла, кинутого під кутомРобота й енергіяОбертання твердого тілаМеханічні коливанняТеплові машини й холодильникиГазові цикли теплових двигунівНерозривність і БернулліНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Тертя в трубах і втрати напору» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Тертя в трубах і втрати напоруТренуйтеся зараз: Тертя в трубах і втрати напоруБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.