Зубчасті колеса й передачі: задачі з покроковими розв’язками

Q: Зубчасті колеса й передачі: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Q: Зубчасті колеса й передачі: що ви тренуєте?

Легка: передаточне відношення Середня: крутний момент і потужність Складна: багатоступенева зубчаста передача Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Безкоштовні задачі з теми Зубчасті колеса й передачі з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: передаточне відношення, крутний момент і потужність, багатоступенева зубчаста передача.

Безкоштовна задачаЛегка

Ведуче колесо з кількістю зубців 30 обертається з частотою 1500 rpm і перебуває в зачепленні з колесом із кількістю зубців 48. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого колеса.

N₁ = 30N₂ = 48n₁ = 1500 rpm

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Зубчасті колеса й передачі Тренуйтеся зараз: Зубчасті колеса й передачіБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкапередаточне відношення
Середнякрутний момент і потужність
Складнабагатоступенева зубчаста передача

Основні формули

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Вивчайте тему «Зубчасті колеса й передачі» з нуля

1Що роблять зубчасті колеса

Зубчасті колеса передають обертання з одного вала на інший. Їхні зуби входять один в одного, тож вони не можуть прослизати.

Редуктор виконує дві задачі одночасно. Він змінює частоту обертання й змінює момент, обертальну силу на валу. Повільніше означає сильніше.

Електродвигун крутиться швидко, але з малим моментом. Пара коліс сповільнює його, щоб він міг обертати важкий конвеєр чи лебідку. Велосипед на низькій передачі працює так само.

Колесо, яке приводить у рух двигун, — це ведуче (часто мале колесо, зване шестернею). Колесо, яке воно обертає, — ведене.

Два зубчасті колеса в зачепленні обертаються в протилежних напрямках.

Самоперевірка Мале колесо приводить у рух велике. Порівняно з малим колесом велике обертається…

з тією самою швидкістю в тому самому напрямку
повільніше, з більшим моментом
повільніше, з меншим моментом
швидше, з більшим моментом

Відповідь: повільніше, з більшим моментом. Велике колесо потребує більше обертів малого на один свій оберт, тож воно повільніше. Потужність майже та сама, тому повільніший вал несе більший момент.

2Передавальне число

У точці, де два колеса торкаються, їхні зуби проходять з однаковою швидкістю. Якщо шестерня з 20 зубами робить один оберт, вона проштовхує повз себе 20 зубів великого колеса. Колесо з 60 зубами тоді робить лише третину оберту.

Отже, частоти n (у rpm) і числа зубів N пов’язані так:

n₁ · N₁ = n₂ · N₂

Передавальне число — це i = N₂ / N₁ = n₁ / n₂. Число 3 означає, що вихід обертається втричі повільніше.

У складеній зубчастій передачі два колеса сидять на одному проміжному валу, тож обертаються з однаковою частотою. Загальне передавальне число — добуток чисел ступенів:

i_total = (N_B / N_A) · (N_D / N_C)

Паразитне колесо між двома іншими (кожне на своєму валу) змінює лише напрямок обертання. Частота останнього колеса випливає лише з першого й останнього коліс.

Самоперевірка Колесо з 20 зубами, що обертається зі швидкістю 900 rpm, приводить у рух колесо з 60 зубами. З якою швидкістю обертається колесо з 60 зубами?

1,33 rpm
2700 rpm
300 rpm
900 rpm

Відповідь: 300 rpm. n₂ = n₁ · N₁/N₂ = 900 · 20/60 = 300 rpm. Множення на 60/20 дає 2700 rpm: велике колесо тоді оберталося б швидше, що навпаки.

3Момент і потужність

Потужність — це момент, помножений на кутову швидкість. Кутова швидкість має бути в rad/s, тож спершу перетворіть з rpm:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

Пара зубчастих коліс передає майже всю потужність. Лише кілька відсотків втрачається на тертя, що описується ККД η (зазвичай від 0,95 до 0,98):

P₂ = η · P₁

Оскільки частота зменшується в передавальне число разів, а потужність майже не змінюється, момент зростає в стільки ж разів:

T₂ = T₁ · (N₂ / N₁) · η

Самоперевірка Двигун 3 kW обертається зі швидкістю 955 rpm. Який момент він розвиває?

0,03 N·m
188 N·m
3,14 N·m
30 N·m

Відповідь: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, тож T = 3000/100 = 30 N·m. Ділення безпосередньо на rpm дає 3,14, залишення потужності в kW дає 0,03, а забування 2π дає 188.

4Метод крок за кроком

Накресліть колеса й запишіть число зубів на кожному. Позначте вхідний і вихідний вали.
Знайдіть передавальне число кожного ступеня, зуби веденого / зуби ведучого, і перемножте ступені для складеної передачі.
Вихідна частота: n_out = n_in / i_total.
Вхідний момент від двигуна: переведіть rpm у rad/s за ω = 2π·n/60, потім T = P/ω.
Вихідний момент: помножте на передавальне число і на ККД кожного зачеплення.

Перевірте напрямок відповіді: редукція робить вихід повільнішим, а його момент більшим.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Двигун 4 kW, що працює на 1200 rpm, приводить у рух шестерню з 20 зубами, яка зачеплюється з колесом з 60 зубами. ККД пари коліс — 96%. Знайдіть частоту обертання колеса й вихідний момент на його валу.

Накресліть пару

Шестерня — ведуча. Передавальне число i = 60/20 = 3.

Вихідна частота обертання

n₂ = n₁ · N₁ / N₂ = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm

Вхідний крутний момент

Спершу переведіть швидкість двигуна в rad/s:

ω₁ = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s

T₁ = P / ω₁ = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = T₁ · (N₂ / N₁) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m

Перевірте відповідь

Вихідна потужність: P₂ = 0,96 · 4000 = 3840 W, а ω₂ = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T₂ = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

Той самий момент, знайдений за потужністю. Відповідь правильна.

Відповідь

Колесо обертається з n₂ = 400 rpm і вихідним моментом T₂ ≈ 91,7 N·m.

6Типові помилки

Перевертати відношення зубів. Більше ведене колесо має обертатися повільніше.
Використовувати rpm у P = T·ω. Переведіть у rad/s за ω = 2π·n/60.
Ділити момент на передавальне число замість множення. Редукція збільшує момент.
Ділити на ККД. Тертя зменшує вихідний момент, тож множте на η.
Враховувати паразитне колесо в передавальному числі або перемножувати зуби двох коліс на одному валу.

Самоперевірка Шестерня з 20 зубами несе 10 N·m і приводить у рух колесо з 60 зубами. ККД — 95%. Який вихідний момент?

28,5 N·m
3,17 N·m
30 N·m
31,6 N·m

Відповідь: 28,5 N·m. T₂ = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Ділення на передавальне число дає 3,17, ігнорування ККД дає 30, а ділення на η дає 31,6.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легко: передавальне число. Знайдіть швидкість веденого колеса або число зубів, потрібне для заданої швидкості. Варіації охоплюють паразитне колесо та розміри коліс за модулем m: ділильний діаметр d = m·N, міжосьова відстань a = m·(N₁ + N₂)/2.
Середньо: момент і потужність. Двигун заданої потужності й частоти приводить у рух пару коліс: знайдіть вхідний або вихідний момент. Інші просять колову силу на зубах F_t = 2T/d або стосуються черв’ячної передачі (передавальне число = зуби колеса / заходи черв’яка).
Складно: складена зубчаста передача. Знайдіть вихідну частоту, число зубів, потрібне на останньому колесі, або вихідний момент з ККД для кожного зачеплення. Деякі запитання використовують планетарний механізм.

Для складеної передачі, як-от A (20) → B (60), потім C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9, тож вхід 900 rpm дає 100 rpm на виході.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Двигун, що обертається з частотою 1500 об/хв, приводить шків 160 мм. Пас з’єднує його зі шківом 400 мм. Вважаючи, що прослизання немає, знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mm

Знайти: n₂ (rpm)

Показати підказки

Пас рухається з однією швидкістю, тож обидва обода мають однакову швидкість.
π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
n₂ = 1500·160/400.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Рівні колові швидкості ободів

n₁·d₁ = n₂·d₂

Частота обертання веденого шківа

n₂ = 1500·160/400 = 600 rpm

Відповідь

n₂ = 600 rpm

Приклад 2Середня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 16, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 7,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 80η = 98%

Знайти: T₂ (N·m)

Показати підказки

Момент двигуна через потужність: T = P/ω, де ω = 2π·n/60 у rad/s.
ω₁ = 151,8 rad/s.
Передача множить крутний момент на N₂/N₁ (і трохи втрачає на тертя).

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

Відповідь

T₂ = 242 N·m

Приклад 3Складна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (32 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (60 зубців). Колесо C (50 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 320 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 960 rpmA = 32B = 60C = 50n_out = 320 rpm

Знайти: N_D

Показати підказки

Спочатку знайдіть частоту обертання проміжного вала: n_B = n_in·A/B.
Потім C приводить D: N_D = C·n_B/n_out.
n_B = 512 rpm.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 960·32/60 = 512 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 50·512/320 = 80

Відповідь

N_D = 80

Запитання й відповіді

Зубчасті колеса й передачі: що це?

Зубчасті колеса й передачі: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Зубчасті колеса й передачі: які помилки найпоширеніші?

Більший шків обертається повільніше: n₂ = n₁·d₁/d₂.
Рівні колові швидкості ободів, а не частоти обертання валів.
Зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.

Зубчасті колеса й передачі: що ви тренуєте?

Легка: передаточне відношення
Середня: крутний момент і потужність
Складна: багатоступенева зубчаста передача

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Калькулятори

Калькулятор передаточного відношення Калькулятор довжини паса (відкритий і перехресний)

Курси з цією темою

Динаміка Деталі машин Мехатронні системи Підготовка до іспиту FE Mechanical

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балок Рами та механізми Осьове напруження й деформація Кручення валів Коло Мора й перетворення напружень Рух тіла, кинутого під кутом Робота й енергія Обертання твердого тіла Механічні коливання Теплові машини й холодильники Газові цикли теплових двигунів Нерозривність і Бернуллі Тертя в трубах і втрати напору Насоси й потужність насосів Теплопровідність

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Зубчасті колеса й передачі» з відповідями