Рами та механізми: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Рами та механізми з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: двосилові стрижні та прості механізми, сили в шарнірах і важільні системи, рами з багатьма стрижнями.

Безкоштовна задачаЛегка
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

Показана А-подібна рама спирається на шарнірну опору в A і коткову в B на відстані 4 м одна від одної. Вертикальне навантаження 15 кН діє на ногу AC у точці K на 0,8 м (по горизонталі) від A. Знайдіть вертикальну реакцію By коткової опори.

P = 15 kNAB = 4 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,8 m
kN
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Рами та механізмиТренуйтеся зараз: Рами та механізмиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкадвосилові стрижні та прості механізми
  2. Середнясили в шарнірах і важільні системи
  3. Складнарами з багатьма стрижнями

Як розв’язувати задачі на тему «Рами та механізми»

  1. Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
  2. Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
  3. Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
  4. Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Типові помилки

  • Вважати двосиловим стрижень, у якого є навантаження між шарнірами.
  • Давати силі в шарнірі однаковий напрям на обох стрижнях, які він з’єднує.
  • Брати повну похилу силу як вертикальну складову в рівнянні моментів.
  • Наводити лише одну складову, коли запитують модуль сили в шарнірі.

Основні формули

Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження

Вивчайте тему «Рами та механізми» з нуля

Перед цим: Опорні реакції балок, Ферма: метод вирізання вузлів

1Що таке рами та механізми

У фермі кожен стрижень — це прямий брус із шарнірами на двох кінцях, а навантаження прикладене лише у вузлах, тож кожен стрижень просто розтягнутий або стиснутий. Рама інша: принаймні один стрижень сприймає сили у трьох чи більше точках або навантаження між своїми шарнірами. Такий стрижень ще й згинається.

ABCDE8 kN

У цій А-подібній рамі ноги AC і BC — багатосилові стрижні: кожна навантажена в опорі, в затяжці та в шарнірі C. Затяжка DE закріплена шарнірами на обох кінцях і між ними нічого не несе. Рама, що рухається й перетворює вхідну силу на вихідну, як-от кліщі, важіль чи затиск, називається механізмом.

Самоперевірка Який стрижень А-подібної рами є двосиловим?
  1. Затяжка DE
  2. Кожен стрижень, бо в кожного по два шарніри на кінцях
  3. Нога AC, бо вона несе навантаження
  4. Нога BC, бо вона спирається на коткову опору

Відповідь: Затяжка DE. DE має сили лише у двох шарнірах, тож її сила діє вздовж DE. Кожна нога, крім опори та шарніра C, ще сприймає силу затяжки в D або E, тож вона несе три сили, а не дві.

2Двосилові стрижні та сили в шарнірах

Стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, — це двосиловий стрижень. Його дві сили рівні, протилежні й лежать на прямій через шарніри. Тож він дає одну невідому, величину цієї сили, замість двох складових.

Там, де два стрижні сходяться в шарнірі, шарнір діє на один стрижень із силою (Cx, Cy), а на інший — з протилежною силою (−Cx, −Cy). Зображуйте їх саме так, з однаковими позначеннями, на обох схемах вільного тіла.

Кожен окремий стрижень дає три рівняння: ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Беріть моменти відносно шарніра, де діють невідомі сили, тоді обидві їхні складові випадають.

3Метод крок за кроком

  1. Накресліть усю раму й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
  2. Позначте двосилові стрижні: їхні сили діють уздовж прямої між їхніми шарнірами.
  3. Розбийте раму на частини й накресліть кожен багатосиловий стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах.
  4. Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Складові об’єднайте в модуль наприкінці: F = √(Fx² + Fy²).

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної. Шарнір C на висоті 2,4 м, а затяжка DE — на 0,8 м над землею. У C діє навантаження 8 кН. Знайдіть натяг T у затяжці та силу, з якою шарнір C діє на ногу BC.

1

Огляньте раму

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

Затяжка DE — двосиловий стрижень, тож вона тягне обидві ноги горизонтально.

2

Уся рама

Навантаження посередині, тож кожна опора несе його половину.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

Нога BC: моменти відносно C

4 kNTCx​Cy​CEB

B на 1,5 м праворуч від C, а затяжка на 2,4 − 0,8 = 1,6 м нижче від C.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

Нога BC: баланс сил

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

Перевірте відповідь

На ногу AC сила в шарнірі протилежна: (−3,75, +4) кН. При Ay = 4 кН, затяжці +3,75 кН і навантаженні −8 кН обидві суми сил дорівнюють нулю.

Відповідь

T = 3,75 кН (розтяг) і C = 5,48 кН на ногу BC.

5Механізми: кліщі, важелі та колінно-важільні механізми

Для механізму накресліть одну частину й візьміть моменти відносно її осі. Сила в шарнірі випадає, а вхідна й вихідна сили врівноважуються:

Fin·a = Fout·b

Кліщі, у яких рука на відстані 100 мм від шарніра, а губки — на 25 мм, множать силу на 100/25 = 4. Тоді шарнір несе обидві сили: на одній половині вони напрямлені однаково, по різні боки від шарніра, тож додаються.

У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ. Кожна ланка — двосиловий стрижень із силою F/(2 sin θ), а сила затиску дорівнює F/(2 tan θ). Чим пологіші ланки, тим більша сила.

Самоперевірка Кліщі стискають із силою 50 Н на відстані 100 мм від шарніра, а губки на відстані 25 мм від шарніра. Яка сила затиску?
  1. 12,5 Н
  2. 200 N
  3. 250 Н
  4. 50 Н

Відповідь: 200 N. Моменти відносно шарніра: 50·100 = Q·25, звідки Q = 200 Н. Обернене співвідношення дає 12,5 Н, а 250 Н — це сила в шарнірі, сума сили руки й затиску.

6Типові помилки

  • Вважати двосиловим стрижень, у якого є навантаження між шарнірами.
  • Зображувати силу в шарнірі в одному напрямі на обох стрижнях, які він з’єднує.
  • Брати повну силу похилого розкосу як його вертикальну складову.
  • Давати одну складову, коли запитують модуль сили в шарнірі.
Самоперевірка Розкіс діє на балку із силою 10 кН під кутом 30° до балки. Яка складова перпендикулярна до балки?
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 кН

Відповідь: 5 kN. Перпендикулярна складова дорівнює 10·sin 30° = 5 кН. 8,66 кН — це складова вздовж балки (cos 30°), а 10 кН — повна сила.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: двосилові стрижні та прості механізми. Ви знаходите силу затиску кліщів або силу в шарнірі, силу в розкосі кронштейна, силу в затяжці чи реакцію опори А-подібної рами або вихідну силу кутового важеля.
  • Середній: сили в шарнірах і важільні системи. Ви знаходите реакцію шарніра кронштейна чи кутового важеля, силу в затяжці за позацентрового навантаження, силу шарніра на ногу, силу в стрижні триповоротної рами або силу затиску колінно-важільного механізму.
  • Важкий: рами з багатьма стрижнями. Ви додаєте рівномірне навантаження на кронштейн, знаходите силу в канаті чи реакцію шарніра стріли з власною вагою, силу в шарнірі за позацентрового навантаження, реакцію опори за горизонтального навантаження або силу, потрібну колінно-важільному пресу.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1,2 м нижче від A. На вільному кінці B висить вантаж 12 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть силу FCD в розкосі.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

Знайти: FCD (kN)

Показати підказки
  1. CD навантажений лише у двох шарнірах, тож це двосиловий стрижень: його сила діє вздовж CD.
  2. Візьміть моменти відносно A для балки: момент мають лише розкіс і вантаж.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень

Розкіс має шарніри на обох кінцях і не має навантаження між ними.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

Моменти відносно A для балки

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

Відповідь

FCD = 39 kN

Розкіс підпирає балку вгору: він стиснутий.

Приклад 2Середня
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,75 м нижче від A. У B висить вантаж 8 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

Знайти: A (kN)

Показати підказки
  1. Спершу знайдіть силу в розкосі: моменти відносно A для балки.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. Тоді ΣFx = 0 і ΣFy = 0 для балки дають складові в A.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

Складові в A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (до стіни)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

Модуль

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

Відповідь

A = 25,16 kN

Від’ємне Ay означає, що стіна тягне балку вниз у A.

Приклад 3Складна
8 kN1 kN2 m1 mABC

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 8 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

Знайти: T (kN)

Показати підказки
  1. Канат тягне вздовж BC. Візьміть моменти відносно A для стріли.
  2. Вертикальна складова каната T·sin β має плече AB; його горизонтальна складова проходить через A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Кут каната

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Моменти відносно A

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

Відповідь

T = 19,01 kN

Запитання й відповіді

Рами та механізми: що це?

У фермі кожен стрижень — це прямий брус із шарнірами на двох кінцях, а навантаження прикладене лише у вузлах, тож кожен стрижень просто розтягнутий або стиснутий. Рама інша: принаймні один стрижень сприймає сили у трьох чи більше точках або навантаження між своїми шарнірами. Такий стрижень ще й згинається.

У цій А-подібній рамі ноги AC і BC — багатосилові стрижні: кожна навантажена в опорі, в затяжці та в шарнірі C. Затяжка DE закріплена шарнірами на обох кінцях і між ними нічого не несе. Рама, що рухається й перетворює вхідну силу на вихідну, як-от кліщі, важіль чи затиск, називається механізмом.

Рами та механізми: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
  2. Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
  3. Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
  4. Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Рами та механізми: які помилки найпоширеніші?
  • Вважати двосиловим стрижень, у якого є навантаження між шарнірами.
  • Давати силі в шарнірі однаковий напрям на обох стрижнях, які він з’єднує.
  • Брати повну похилу силу як вертикальну складову в рівнянні моментів.
  • Наводити лише одну складову, коли запитують модуль сили в шарнірі.
Рами та механізми: що ви тренуєте?
  • Легка: двосилові стрижні та прості механізми
  • Середня: сили в шарнірах і важільні системи
  • Складна: рами з багатьма стрижнями

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Опорні реакції балокФерма: метод вирізання вузлів

Курси з цією темою

Статика

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балокОсьове напруження й деформаціяКручення валівКоло Мора й перетворення напруженьРух тіла, кинутого під кутомРобота й енергіяОбертання твердого тілаМеханічні коливанняТеплові машини й холодильникиГазові цикли теплових двигунівНерозривність і БернулліТертя в трубах і втрати напоруНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Рами та механізми» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Рами та механізмиТренуйтеся зараз: Рами та механізмиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.