Газові цикли теплових двигунів: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Газові цикли теплових двигунів з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: цикл Отто, цикл Дизеля, цикл Брайтона.

Безкоштовна задачаЛегка
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Отто має ступінь стиснення 10,5. На початку стиснення повітря має температуру 295 K, а найвища температура циклу — 1800 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 10,5T1 = 295 KT3 = 1800 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)
kJ/kg
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Газові цикли теплових двигунівТренуйтеся зараз: Газові цикли теплових двигунівБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкацикл Отто
  2. Середняцикл Дизеля
  3. Складнацикл Брайтона

Основні формули

Ізоентропний процес, відношення об’ємів
T2/T1 = rk−1
Ізоентропний процес, відношення тисків
T2/T1 = rp(k−1)/k
ККД циклу Отто
η = 1 − 1/rk−1
ККД циклу Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ККД циклу Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Підведена теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Корисна робота циклу Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Ізоентропні ККД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодне повітря
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Вивчайте тему «Газові цикли теплових двигунів» з нуля

Перед цим: Теплові машини й холодильники, Рівняння стану ідеального газу

1Що таке газовий силовий цикл

Автомобільні двигуни й газові турбіни — це теплові двигуни, що використовують повітря як робочий газ. Повітря стискають, нагрівають спалюванням палива, воно розширюється, штовхаючи поршень чи турбіну, а потім викидається.

Реальні двигуни складні. Для розрахунків інженери використовують повітряно-стандартну модель: фіксована кількість повітря проходить замкнений цикл із чотирьох простих кроків, а спалювання палива замінюють підведенням тепла.

За припущень холодного повітряного стандарту повітря — ідеальний газ зі сталими властивостями: k = cp/cv = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K).

Ви зустрінете три цикли:

  • Отто: бензиновий двигун. Тепло підводиться за сталого об’єму, як іскра, що майже миттєво спалює паливо.
  • Дизеля: дизельний двигун. Тепло підводиться за сталого тиску, поки рухається поршень.
  • Брайтона: газова турбіна. Повітря проходить через компресор, камеру згоряння й турбіну.

Найважливіше число поршневого двигуна — його ступінь стиснення r = v1/v2: найбільший об’єм, поділений на найменший.

Самоперевірка Циліндр вміщує 0,5 L, коли поршень унизу, і 0,05 L, коли він угорі. Який ступінь стиснення?
  1. 0,1
  2. 0,45
  3. 10
  4. 9

Відповідь: 10. r = найбільший об’єм / найменший об’єм = 0,5/0,05 = 10. Ділення навпаки дає 0,1, а різниця об’ємів (0,45 L) не є відношенням.

2Ізоентропійні кроки та цикл Отто

В ідеальному циклі стиснення й розширення відбуваються без тертя й без теплообміну. Такий крок називається ізоентропійним. Для ідеального газу температура тоді відповідає відношенню об’ємів:

T2 / T1 = rk−1 = r0,4

Стиснення повітря до однієї восьмої його об’єму нагріває його від 300 K приблизно до 689 K. Тому дизельному двигуну не потрібна іскра.

Цикл Отто має чотири кроки, показані на діаграмі тиск–об’єм:

vp1234qin​qout​v2​v1​
  1. 1 → 2: ізоентропійне стиснення. T зростає в r0,4 разів.
  2. 2 → 3: підведення тепла за сталого об’єму: qin = cv·(T3 − T2).
  3. 3 → 4: ізоентропійне розширення. T спадає в ті самі r0,4 разів.
  4. 4 → 1: відведення тепла за сталого об’єму: qout = cv·(T4 − T1).

Чиста робота на кілограм дорівнює w = qin − qout, а ККД залежить лише від ступеня стиснення:

ηOtto = 1 − 1 / rk−1
Самоперевірка Який термічний ККД ідеального циклу Отто зі ступенем стиснення 10? (k = 1,4)
  1. 39,8%
  2. 60,2%
  3. 90%
  4. 96,0%

Відповідь: 60,2%. 100,4 = 2,512, тож η = 1 − 1/2,512 = 60,2%. Якщо пропустити показник степеня, вийде 1 − 1/10 = 90%; 39,8% — це 1/r0,4, тобто втрачена частина.

3Цикли Дизеля та Брайтона

Цикл Дизеля підводить тепло за сталого тиску. Під час нагрівання об’єм зростає в ступінь попереднього розширення rc = v3/v2 разів. За сталого тиску температура зростає в стільки ж разів:

T3 = rc · T2 qin = cp · (T3 − T2)
ηDiesel = 1 − (1 / rk−1) · (rck − 1) / (k · (rc − 1))

Цикл Брайтона газової турбіни описується ступенем підвищення тиску rp = p2/p1 замість відношення об’ємів. Ізоентропійне правило тоді має інший показник степеня:

T2 / T1 = rp(k−1)/k = rp0,2857
ηBrayton = 1 − 1 / rp(k−1)/k

Компресор витрачає роботу, а турбіна віддає роботу. Чиста робота на кілограм — це те, що лишається:

wnet = cp · [(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Самоперевірка Який ККД ідеального циклу Брайтона зі ступенем підвищення тиску 8? (k = 1,4)
  1. 44,8%
  2. 55,2%
  3. 56,5%
  4. 87,5%

Відповідь: 44,8%. 80,2857 = 1,811, тож η = 1 − 1/1,811 = 44,8%. Використання показника для об’єму 0,4 (формула Отто) дає 56,5%, що хибно для ступеня підвищення тиску.

4Метод крок за кроком

  1. Визначте цикл (Отто, Дизеля чи Брайтона) і пронумеруйте чотири стани від 1 до 4, починаючи до стиснення.
  2. Переведіть кожну температуру в кельвіни.
  3. Стиснення 1 → 2: T2 = T1·r0,4 для відношення об’ємів або T1·rp0,2857 для відношення тисків.
  4. Підведення тепла 2 → 3: використовуйте cv для Отто (сталий об’єм), cp для Дизеля й Брайтона (сталий тиск).
  5. Розширення 3 → 4: поділіть T3 на множник того самого виду (для Дизеля використовуйте v4/v3 = r/rc).
  6. Знайдіть qout, потім w = qin − qout та η = w/qin. Для перевірки порівняйте η з формулою для цього циклу.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Ідеальний цикл Отто має ступінь стиснення 8. На початку стиснення повітря має 300 K, а найвища температура в циклі — 1800 K. Використайте припущення холодного повітряного стандарту (k = 1,4, cv = 0,718 kJ/(kg·K)). Знайдіть ККД і чисту роботу на кілограм повітря.

1

Накресліть цикл

vp1234qin​qout​v2​v1​

Стан 1 — це 300 K. Найвища температура в стані 3, тож T3 = 1800 K. Нам потрібні T2 і T4.

2

Стиснення 1 → 2

r0,4 = 80,4 = 2,297
T2 = 300 · 2,297 = 689,2 K
3

Підведення тепла 2 → 3

Тепло підводиться за сталого об’єму, тож використовуйте cv:

qin = 0,718 · (1800 − 689,2) = 797,5 kJ/kg
4

Розширення й відведення тепла

T4 = 1800 / 2,297 = 783,5 K
qout = 0,718 · (783,5 − 300) = 347,1 kJ/kg
5

Чиста робота та ККД

w = 797,5 − 347,1 = 450,4 kJ/kg
η = 450,4 / 797,5 = 0,565 = 56,5%
6

Перевірте відповідь

Формула Отто дає η = 1 − 1/2,297 = 56,5%. Це те саме, тож температури правильні.

Відповідь

η ≈ 56,5% і w ≈ 450 kJ/kg.

6Типові помилки

  • Використовувати °C в ізоентропійному співвідношенні. T2/T1 = r0,4 працює лише в кельвінах.
  • Використовувати показник k − 1 = 0,4 із ступенем підвищення тиску. Для відношення тисків потрібен (k − 1)/k = 0,2857.
  • Використовувати cp для циклу Отто або cv для Дизеля й Брайтона. Сталий об’єм відповідає cv, сталий тиск — cp.
  • Забувати роботу компресора в циклі Брайтона: чиста робота — це робота турбіни мінус робота компресора.
  • Використовувати показник k замість k − 1.
Самоперевірка Повітря за 27 °C ізоентропійно стискають зі ступенем стиснення 8 (k = 1,4). Яка температура після стиснення?
  1. 2401 K
  2. 5514 K
  3. 62,0 K
  4. 689,6 K

Відповідь: 689,6 K. T1 = 300,15 K, тож T2 = 300,15 · 80,4 = 689,6 K. Використання 27 дає 62,0, пропуск показника степеня дає 2401 K, а показник 1,4 дає 5514 K.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: цикл Отто. Знайдіть його ККД за r, температуру T2 після стиснення або чисту роботу на кілограм, коли задано найвищу температуру.
  • Середньо: цикл Дизеля зі ступенем стиснення та ступенем попереднього розширення. Знайдіть T3 наприкінці підведення тепла, підведене тепло qin або ККД.
  • Складно: цикл Брайтона газової турбіни. Знайдіть ККД за ступенем підвищення тиску або чисту роботу на кілограм за температурами на вході компресора й турбіни.

Кожне запитання повторює значення холодного повітряного стандарту. Вам потрібні лише k = 1,4 та cv або cp.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Отто має ступінь стиснення 6. На початку стиснення повітря має температуру 305 K, а найвища температура циклу — 2000 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу w на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 6T1 = 305 KT3 = 2000 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Знайти: w (kJ/kg)

Показати підказки
  1. Знайдіть T₂ після ізоентропного стиснення.
  2. qin = cv·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/rk−1.
  3. T₂ = 624,5 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Цикл Отто (двигун з іскровим запалюванням): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому об’ємі, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂: T₂ = T₁·rk−1 і η = 1 − 1/rk−1. Підведена теплота: qin = cv·(T₃ − T₂); корисна робота w = η·qin.

Кінець стиснення

T2 = 305·60,4 = 624,5 K

Теплота, підведена при сталому об’ємі

qin = 0,718·(2000 − 624,5) = 987,6 kJ/kg

Корисна робота

η = 1 − 1/60,4 = 0,5116
w = η·qin = 0,5116·987,6 = 505,3 kJ/kg

Відповідь

w = 505,3 kJ/kg
Приклад 2Середня
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 16 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 2,2. На початку стиснення повітря має температуру 310 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту qin на кілограм повітря, у kJ/kg.

r = 16rc = 2,2T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)

Знайти: qin (kJ/kg)

Показати підказки
  1. Знайдіть T₂ (ізоентропне стиснення) і T₃ = rc·T₂.
  2. qin = cp·(T₃ − T₂).
  3. T₂ = 939,7 K, T₃ = 2067 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Температури

T2 = 310·160,4 = 939,7 K
T3 = 2,2·939,7 = 2067 K

Теплота, підведена при сталому тиску

qin = 1,005·(2067 − 939,7) = 1133 kJ/kg

Відповідь

qin = 1133 kJ/kg
Приклад 3Складна
vP1234qin​qout​

Ідеальний цикл Брайтона працює зі ступенем підвищення тиску в компресорі 20. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть його термічний ККД η у відсотках.

rp = 20k = 1,4

Знайти: η (%)

Показати підказки
  1. ККД ідеального циклу Брайтона залежить лише від ступеня підвищення тиску й k.
  2. η = 1 − 1/rp(k−1)/k.
  3. (k − 1)/k = 0,2857, rp0,2857 = 2,354.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.

Термічний ККД

η = 1 − 1/200,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Відповідь

η = 57,51%

Запитання й відповіді

Газові цикли теплових двигунів: що це?

Автомобільні двигуни й газові турбіни — це теплові двигуни, що використовують повітря як робочий газ. Повітря стискають, нагрівають спалюванням палива, воно розширюється, штовхаючи поршень чи турбіну, а потім викидається.

Реальні двигуни складні. Для розрахунків інженери використовують повітряно-стандартну модель: фіксована кількість повітря проходить замкнений цикл із чотирьох простих кроків, а спалювання палива замінюють підведенням тепла.

Газові цикли теплових двигунів: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Цикл Отто (двигун з іскровим запалюванням): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому об’ємі, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂: T₂ = T₁·rk−1 і η = 1 − 1/rk−1. Підведена теплота: qin = cv·(T₃ − T₂); корисна робота w = η·qin.

Газові цикли теплових двигунів: які помилки найпоширеніші?
  • Це підведена теплота. Лише частка η від неї стає корисною роботою.
  • У циклі Отто теплота підводиться при сталому об’ємі: використовуйте cv, а не cp.
  • Теплота підводиться від стану 2 до стану 3. Спершу знайдіть T2 після стиснення.
Газові цикли теплових двигунів: що ви тренуєте?
  • Легка: цикл Отто
  • Середня: цикл Дизеля
  • Складна: цикл Брайтона

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Теплові машини й холодильникиРівняння стану ідеального газу

Калькулятори

Калькулятор ККД циклів Отто й Брайтона

Курси з цією темою

Термодинаміка 1Підготовка до іспиту FE Mechanical

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балокРами та механізмиОсьове напруження й деформаціяКручення валівКоло Мора й перетворення напруженьРух тіла, кинутого під кутомРобота й енергіяОбертання твердого тілаМеханічні коливанняТеплові машини й холодильникиНерозривність і БернулліТертя в трубах і втрати напоруНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Газові цикли теплових двигунів» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Газові цикли теплових двигунівТренуйтеся зараз: Газові цикли теплових двигунівБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.