Рівняння стану ідеального газу: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: рівняння Менделєєва — Клапейрона · ідеальний газ · газові закони

Безкоштовні задачі з теми Рівняння стану ідеального газу з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: P з n, V, T, з маси, зміна стану або густина.

Безкоштовна задачаЛегка
n = 1,5 molV = 20 LT = 35 °CP = ?

Жорсткий резервуар містить ідеальний газ. Знайдіть його тиск P.

n = 1,5 molV = 20 LT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)
kPa
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Рівняння стану ідеального газуТренуйтеся зараз: Рівняння стану ідеального газуБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. ЛегкаP з n, V, T
  2. Середняз маси
  3. Складназміна стану або густина

Основні формули

Рівняння стану ідеального газу
pV = nRT
Газова стала
R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Молі
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Вивчайте тему «Рівняння стану ідеального газу» з нуля

1Що таке закон ідеального газу

Газ — це величезна кількість молекул, що літають і б’ються об стінки посудини. Ці удари тиснуть на стінки: цей тиск на квадратний метр і є тиском.

Стисніть газ до меншого об’єму, і молекули б’ються об стінки частіше: тиск зростає. Нагрійте його, і вони рухаються швидше: тиск також зростає.

Для більшості газів за звичайних тисків усе це пов’язує одне рівняння:

P · V = n · R · T
  • P: тиск у Pa (1 kPa = 1000 Pa).
  • V: об’єм у m³ (1 L = 0,001 m³).
  • n: кількість газу в mol.
  • T: абсолютна температура в кельвінах.
  • R = 8,314 J/(mol·K), газова стала.
Самоперевірка Яку температуру підставляють у PV = nRT для газу за 20 °C?
  1. 20 K
  2. 20 °C
  3. 293,15 K
  4. −253,15 K

Відповідь: 293,15 K. Закон газу потребує абсолютної температури: T = 20 + 273,15 = 293,15 K. За 0 °C газ усе ще має тиск, тож шкала, що починається від 0 °C, не підходить.

2Одиниці, узгоджені з R

R = 8,314 J/(mol·K) працює з одиницями SI. Джоуль — це Pa·m³, тож P беріть у Pa, а V — у m³. Тоді все збігається.

  • Температура: T[K] = T[°C] + 273,15.
  • Об’єм: 1 L = 0,001 m³, тож 20 L = 0,020 m³.
  • Тиск: результат виходить у Pa. Поділіть на 1000, щоб отримати kPa.
  • Маса: якщо відома маса m у грамах, знайдіть кількість речовини за n = m/M, де M — молярна маса в g/mol (N₂: 28,01, CO₂: 44,01).

Корисний скорочений спосіб: якщо V у літрах, то n·R·T/V одразу дає P у kPa, бо множник 1000 для літрів і множник 1000 для kPa скорочуються.

Самоперевірка Скільки кубічних метрів у 5 L?
  1. 0,005 m³
  2. 0,05 m³
  3. 0,5 m³
  4. 5000 m³

Відповідь: 0,005 m³. В одному кубічному метрі 1000 літрів, тож 5 L = 5/1000 = 0,005 m³.

3Зміна стану газу

Якщо стала кількість газу переходить з одного стану в інший, n і R не змінюються. Отже, PV/T лишається сталим:

P₁V₁T₁P₂V₂T₂
P1·V1 / T1 = P2·V2 / T2

Це об’єднаний газовий закон. Підійдуть будь-які одиниці тиску й об’єму, якщо вони однакові з обох боків. Температури все одно мають бути в кельвінах.

Густина газу також випливає з n = m/M:

ρ = P · M / (R · T)

Якщо P у kPa, а M у g/mol, ρ виходить у kg/m³.

4Метод крок за кроком

  1. Випишіть відомі величини та невідому.
  2. Переведіть температуру в кельвіни.
  3. Якщо задано масу, знайдіть кількість речовини: n = m/M.
  4. Переведіть об’єм у m³ (або залиште літри й використайте скорочення для kPa).
  5. Перетворіть PV = nRT відносно невідомої, потім підставте числа.
  6. Для зміни стану натомість використайте P1V1/T1 = P2V2/T2.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Жорсткий резервуар об’ємом 20 L містить 88 g CO₂ (M = 44,01 g/mol) за 25 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

1

Випишіть значення

m = 88 gV = 20 LT = 25 °CP = ?

Ми знаємо масу, об’єм і температуру. Спершу перетворіть масу на кількість речовини.

2

Молі

n = m/M = 88/44,01 = 2,000 mol
3

Переведіть одиниці

T = 25 + 273,15 = 298,15 K
V = 20 L = 0,020 m³
4

Рівняння стану ідеального газу

P = nRT/V = 2,000 · 8,314 · 298,15 / 0,020 ≈ 247 800 Pa

Це приблизно 247,8 kPa.

5

Перевірте відповідь

Один моль газу за 25 °C і 1 atm (101,3 kPa) займає приблизно 24,5 L. Тут 2 mol стиснуто в 20 L, тобто місця на моль приблизно у 2,5 раза менше, отже, приблизно 2,5 atm. 247,8 kPa підходить.

Відповідь

P ≈ 247,8 kPa.

6Типові помилки

  • Використовувати °C замість кельвінів. Це найпоширеніша помилка, і вона може зробити відповідь у багато разів меншою або більшою.
  • Підставляти літри у формулу з R = 8,314 і чекати відповідь у Pa.
  • Забувати перетворити грами на молі.
  • Перевертати відношення тисків в об’єднаному газовому законі.
Самоперевірка Газ за 100 kPa, 10 L і 27 °C переходить до 200 kPa і 327 °C. Який новий об’єм?
  1. 10,0 L
  2. 40,0 L
  3. 5,0 L
  4. 60,6 L

Відповідь: 10,0 L. У кельвінах: V₂ = 10 · (100/200) · (600,15/300,15) = 10,0 L. З °C виходить 10 · 0,5 · 327/27 = 60,6 L. Якщо знехтувати температурою, вийде 5 L, а якщо перевернути відношення тисків — 40 L.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: знайдіть P за n, V і T у жорсткому резервуарі.
  • Середньо: кількість задано як масу. Спершу знайдіть n = m/M, потім P або V, як у прикладі.
  • Складно: зміна стану (знайдіть V2 за об’єднаним газовим законом) або густина газу.

Приклад із густиною: N₂ (M = 28,01 g/mol) за 200 kPa і 27 °C має ρ = 200 · 28,01/(8,314 · 300,15) = 2,24 kg/m³.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
n = 5 molV = 15 LT = 30 °CP = ?

Жорсткий резервуар містить ідеальний газ. Знайдіть його тиск P.

n = 5 molV = 15 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

Знайти: P (kPa)

Показати підказки
  1. Скористайтеся PV = nRT з абсолютною температурою (K).
  2. Одиниці: при V у m³ і R = 8,314 тиск P виходить у Pa. 1 L = 0,001 m³.
  3. T = 303,1 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, з абсолютною температурою (K) і одиницями, узгодженими з R.

Переведіть одиниці

T = 30 + 273,15 = 303,1 K
V = 15 L = 0,015 m³

Рівняння стану ідеального газу

P = nRT/V = 5·8,314·303,1/0,015 = 840130 Pa = 840,1 kPa

Відповідь

P = 840,1 kPa
Приклад 2Середня
500 g (O₂)V = 10 LT = 50 °CP = ?

Резервуар об’ємом 10 L містить 500 g газу (O₂) при 50 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 500 gM = 32 g/molV = 10 LT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

Знайти: P (kPa)

Показати підказки
  1. Спочатку переведіть масу в молі: n = m/M.
  2. Потім PV = nRT з T у K.
  3. n = 15,63 mol.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 500/32 = 15,63 mol
T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Тиск

P = nRT/V = 15,63·8,314·323,1/0,01 = 4198 kPa

Відповідь

P = 4198 kPa
Приклад 3Складна
He, M = 4,003 g/molP = 850 kPaT = 70 °Cρ = ?

Знайдіть густину ρ газу (He) при 850 kPa і 70 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 4,003 g/molP = 850 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

Знайти: ρ (kg/m³)

Показати підказки
  1. Підставте n = m/M у PV = nRT і виразіть m/V.
  2. ρ = PM/(RT). При P у kPa і M у g/mol густина ρ виходить у kg/m³.
  3. T = 343,1 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Густина

ρ = 850·4,003/(8,314·343,1) = 1,193 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,193 kg/m³

Запитання й відповіді

Рівняння стану ідеального газу: що це?

Газ — це величезна кількість молекул, що літають і б’ються об стінки посудини. Ці удари тиснуть на стінки: цей тиск на квадратний метр і є тиском.

Стисніть газ до меншого об’єму, і молекули б’ються об стінки частіше: тиск зростає. Нагрійте його, і вони рухаються швидше: тиск також зростає.

Рівняння стану ідеального газу: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, з абсолютною температурою (K) і одиницями, узгодженими з R.

Рівняння стану ідеального газу: що ви тренуєте?
  • Легка: P з n, V, T
  • Середня: з маси
  • Складна: зміна стану або густина

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Газові цикли теплових двигунів

Калькулятори

Калькулятор рівняння стану ідеального газуКалькулятор об’єднаного газового закону (Бойль, Шарль і Гей-Люссак)

Курси з цією темою

Термодинаміка 1Фізика для інженерівМатеріальні та енергетичні балансиЗагальна хіміяПідготовка до іспиту FE Chemical

Інші теми: Хімічна інженерія

Матеріальний балансЕнергетичний балансХімічна кінетикаРозрахунок реакторів (CSTR і PFR)Теплообмінники (LMTD)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Рівняння стану ідеального газу» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Рівняння стану ідеального газуТренуйтеся зараз: Рівняння стану ідеального газуБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.