Матеріальний баланс: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Матеріальний баланс з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: змішування двох потоків, змішування до заданого складу, випарник.

Безкоштовна задачаЛегка
ЗмішувачПотік 1450 kg/h · 25% сільПотік 2700 kg/h · 15% сільПотік 3ṁ₃ = ? kg/h

Два розчини (сіль) змішуються в усталеному режимі. Знайдіть витрату на виході ṁ3.

ṁ1 = 450 kg/hx1 = 25 %ṁ2 = 700 kg/hx2 = 15 %
kg/h
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Матеріальний балансТренуйтеся зараз: Матеріальний балансБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легказмішування двох потоків
  2. Середнязмішування до заданого складу
  3. Складнавипарник

Основні формули

Усталений режим
вхід = вихід
Загальний баланс
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
Баланс компонента
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
Випарник
F·xF = P·xP, W = F − P

Вивчайте тему «Матеріальний баланс» з нуля

1Що таке матеріальний баланс

Маса не може з’явитися чи зникнути. Усе, що надходить у технологічний апарат (змішувач, резервуар, випарник), має вийти з нього або лишитися всередині.

Багато апаратів працюють у сталому режимі: потоки не змінюються з часом, і нічого не накопичується всередині. Тоді правило просте:

вхід = вихід

Уявіть ванну з відкритим краном і витягнутою пробкою. Якщо рівень води лишається незмінним, вода, що виходить щохвилини, дорівнює воді, що надходить.

Потоки записують як масові витрати ṁ, наприклад у kg/h. Читайте ṁ як «m з крапкою»: крапка означає «за одиницю часу».

Самоперевірка Змішувач у сталому режимі отримує 300 kg/h і 200 kg/h. Скільки з нього виходить?
  1. 100 kg/h
  2. 250 kg/h
  3. 500 kg/h
  4. 600 kg/h

Відповідь: 500 kg/h. У сталому режимі нічого не накопичується, тож вихід = вхід = 300 + 200 = 500 kg/h. 250 kg/h — це середнє, яке тут не має сенсу.

2Загальний баланс і баланс за компонентами

Потік часто є сумішшю, наприклад сіль, розчинена у воді. Масова частка x — це частка одного компонента: 20% солі означає 0,20 kg солі в кожному kg розчину.

Маса цього компонента в потоці дорівнює ṁ·x. Без хімічної реакції кожен компонент також підкоряється правилу «вхід = вихід». Тому можна записати два баланси:

ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ1·x1 + ṁ2·x2 = ṁ3·x3

Перший — загальний баланс, другий — баланс за компонентом (тут для солі). Два незалежні рівняння можуть знайти дві невідомі.

Приклад: 300 kg/h з 10% солі змішують із 200 kg/h з 20% солі. Сіль на вході: 30 + 40 = 70 kg/h. Загалом на виході: 500 kg/h. Отже, x3 = 70/500 = 14%.

Самоперевірка Змішайте 300 kg/h 10% розчину солі з 200 kg/h 20% розчину солі. Яка частка солі в суміші?
  1. 14%
  2. 15%
  3. 30%
  4. 7%

Відповідь: 14%. Сіль на вході = 300·0,10 + 200·0,20 = 70 kg/h, і 70/500 = 14%. Просте середнє часток, 15%, не враховує, що потік із 10% більший.

3Випарник: зв’язувальний компонент

Випарник випарює воду з розчину, щоб зробити його концентрованішим. Пара W — це чиста вода, тож уся розчинена речовина виходить із продуктом P.

F1000 kg/h · 10%P40%W0%

Розчинена речовина проходить без змін, лише з F в P. Такий компонент — зв’язувальний компонент: його баланс безпосередньо пов’язує два потоки.

F·xF = P·xP, W = F − P

На малюнку: P = 1000 · 0,10/0,40 = 250 kg/h, і W = 1000 − 250 = 750 kg/h води википає.

Самоперевірка Випарник приймає 1000 kg/h 10% розчину цукру й виробляє 40% продукт. Скільки води випарено?
  1. 250 kg/h
  2. 300 kg/h
  3. 4000 kg/h
  4. 750 kg/h

Відповідь: 750 kg/h. Баланс за цукром: P = 1000·0,10/0,40 = 250 kg/h. Тоді W = 1000 − 250 = 750 kg/h. 250 kg/h — це продукт, а не вилучена вода.

4Метод крок за кроком

  1. Накресліть прямокутник для апарата з кожним потоком у вигляді стрілки. Запишіть кожну відому витрату й частку поруч.
  2. Позначте невідомі. Порахуйте їх: вам потрібно стільки ж незалежних балансів.
  3. Запишіть загальний баланс: сума потоків на вході = сума потоків на виході.
  4. Запишіть баланс за розчиненою речовиною: сума ṁ·x на вході = сума ṁ·x на виході. Використовуйте частки як десяткові числа (20% = 0,20) або у відсотках з обох боків.
  5. Розв’яжіть. Почніть із зв’язувального компонента, якщо він є.
  6. Перевірте: підставте числа назад в обидва баланси.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Потік 1 — це 400 kg/h 10% розчину солі. Скільки потоку 2 (40% солі) треба додавати щогодини, щоб змішаний продукт містив 20% солі? Знайдіть ṁ2.

1

Накресліть апарат

ṁ₁ = 400 kg/h10%ṁ₂ = ?40%ṁ₃20%

Є дві невідомі, ṁ2 і ṁ3, тож потрібні два баланси.

2

Загальний баланс

ṁ3 = 400 + ṁ2
3

Баланс за сіллю

400 · 0,10 + ṁ2 · 0,40 = (400 + ṁ2) · 0,20
40 + 0,40·ṁ2 = 80 + 0,20·ṁ2
4

Розв’яжіть

0,20·ṁ2 = 40 ⇒ ṁ2 = 200 kg/h

Тоді ṁ3 = 400 + 200 = 600 kg/h.

5

Перевірте відповідь

Сіль на вході: 40 + 200 · 0,40 = 120 kg/h. Сіль на виході: 600 · 0,20 = 120 kg/h. Обидва баланси виконуються.

Цільові 20% лежать між 10% і 40%, як і має бути для суміші.

Відповідь

Додайте ṁ2 = 200 kg/h 40% розчину.

6Типові помилки

  • Усереднювати частки замість того, щоб зважувати їх за витратою.
  • Записувати лише загальний баланс, а потім вгадувати другу невідому.
  • Змішувати відсотки та десяткові числа в одному рівнянні.
  • У випарнику давати продукт P, коли запитано випарену воду W, або навпаки.
  • Перевертати відношення зв’язувального компонента: P = F·xF/xP, тож P менше за F.
Самоперевірка Змішайте 100 kg/h 10% розчину з 300 kg/h 30% розчину. Яка частка на виході?
  1. 20%
  2. 25%
  3. 33,3%
  4. 40%

Відповідь: 25%. Розчинена речовина на виході = 100·0,10 + 300·0,30 = 100 kg/h, і 100/400 = 25%. Просте середнє 10% і 30% — це 20%, що не враховує, що потік із 30% утричі більший.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: змішують два потоки. Знайдіть витрату на виході (загальний баланс) або її частку (баланс за компонентом).
  • Середньо: змішування до цільової частки. Знайдіть витрату другого потоку за допомогою обох балансів, як у прикладі.
  • Складно: випарник. Використайте розчинену речовину як зв’язувальний компонент, щоб знайти P, потім W = F − P.

Скорочений спосіб для змішування: ṁ2 = ṁ1·(x1 − x3)/(x3 − x2). У прикладі: 400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
ЗмішувачПотік 1300 kg/h · 30% сільПотік 2250 kg/h · 40% сільПотік 3x₃ = ? %

Два розчини (сіль) змішуються в усталеному режимі. Знайдіть масову частку компонента (сіль) на виході x3.

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 30 %ṁ2 = 250 kg/hx2 = 40 %

Знайти: x3 (%)

Показати підказки
  1. В усталеному режимі що входить, те й виходить: запишіть загальний баланс і баланс розчиненого компонента.
  2. Загальний: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃. Компонент: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. ṁ3 = 550 kg/h.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Матеріальний баланс в усталеному режимі: вхід = вихід, для загальної маси й окремо для кожного компонента (без реакції).

Загальний баланс

ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 300 + 250 = 550 kg/h

Баланс: Сіль

ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
x3 = (300·30 + 250·40)/550 = 34,55 %

Відповідь

x3 = 34,55 %
Приклад 2Середня
ЗмішувачПотік 1850 kg/h · 50% цукорПотік 2ṁ₂ = ? · 15% цукорПродукт40% цукор

Скільки потоку 2 треба щогодини додавати до потоку 1, щоб суміш містила 40% компонента (цукор)? Знайдіть ṁ2.

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 40 %

Знайти: ṁ2 (kg/h)

Показати підказки
  1. Дві невідомі (ṁ₂ і ṁ₃) потребують двох балансів: загального й за компонентом.
  2. Підставте ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ у ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. Після перетворення: ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Матеріальний баланс в усталеному режимі: вхід = вихід для загальної маси й для кожного компонента. Задачі на змішування поєднують обидва.

Баланси

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
цукор: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

Виразіть ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(50 − 40)/(40 − 15) = 340 kg/h

Відповідь

ṁ2 = 340 kg/h
Приклад 3Складна
ВипарникЖивлення F2000 kg/h · 10% NaOHПродукт P65% NaOHПара W (чиста вода)W = ? kg/h

Випарник концентрує розчин (NaOH), випаровуючи чисту воду. Знайдіть кількість випаруваної води W в kg/h.

F = 2000 kg/hxF = 10 %xP = 65 %

Знайти: W (kg/h)

Показати підказки
  1. Пара не містить розчиненої речовини, тож уся розчинена речовина з живлення виходить із продуктом.
  2. Баланс розчиненої речовини: F·xF = P·xP. Потім загальний баланс: F = W + P.
  3. P = 307,7 kg/h.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Ключовий компонент: компонент, що без змін проходить лише в одному потоці (тут розчинена речовина), напряму пов’язує витрати. Решту дає загальний баланс.

Баланс розчиненої речовини

F·xF = P·xP → P = 2000·10/65 = 307,7 kg/h

Загальний баланс

W = F − P = 2000 − 307,7 = 1692 kg/h

Відповідь

W = 1692 kg/h

Запитання й відповіді

Матеріальний баланс: що це?

Маса не може з’явитися чи зникнути. Усе, що надходить у технологічний апарат (змішувач, резервуар, випарник), має вийти з нього або лишитися всередині.

Багато апаратів працюють у сталому режимі: потоки не змінюються з часом, і нічого не накопичується всередині. Тоді правило просте:

Матеріальний баланс: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Матеріальний баланс в усталеному режимі: вхід = вихід, для загальної маси й окремо для кожного компонента (без реакції).

Матеріальний баланс: що ви тренуєте?
  • Легка: змішування двох потоків
  • Середня: змішування до заданого складу
  • Складна: випарник

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Енергетичний баланс

Курси з цією темою

Матеріальні та енергетичні балансиХімічні реакториПідготовка до іспиту FE Chemical

Інші теми: Хімічна інженерія

Енергетичний балансРівняння стану ідеального газуХімічна кінетикаРозрахунок реакторів (CSTR і PFR)Теплообмінники (LMTD)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Матеріальний баланс» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Матеріальний балансТренуйтеся зараз: Матеріальний балансБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.