Теплообмінники (LMTD): задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Теплообмінники (LMTD) з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: LMTD, потрібна площа, повне проєктування.

Безкоштовна задачаЛегка
довжинаT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

У протитечійному теплообміннику гарячий теплоносій охолоджується з 115 до 100 °C, а холодний нагрівається з 15 до 100 °C. Знайдіть середньологарифмічну різницю температур ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Теплообмінники (LMTD)Тренуйтеся зараз: Теплообмінники (LMTD)Безкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. ЛегкаLMTD
  2. Середняпотрібна площа
  3. Складнаповне проєктування

Основні формули

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

Вивчайте тему «Теплообмінники (LMTD)» з нуля

Перед цим: Енергетичний баланс

1Що робить теплообмінник

Теплообмінник переносить тепло від гарячої рідини до холодної крізь металеву стінку, наприклад, трубу з гарячою оливою всередині та охолодною водою ззовні.

Скільки тепла він може передати, залежить від трьох речей: наскільки добре стінка проводить тепло, скільки стінки є і яка різниця температур між рідинами.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: теплове навантаження у W.
  • U: загальний коефіцієнт теплопередачі у W/(m²·K). Більше U означає кращий теплообмінник.
  • A: площа теплопередачі у m².
  • ΔTlm: середньологарифмічна різниця температур, правильна «середня» різниця температур.

Потоки можуть текти в одному напрямку (прямотік) або в протилежних напрямках (протитік).

hc⇉hc⇄

На малюнку лівий теплообмінник — прямотік, а правий — протитік. Протитік зберігає більшу різницю температур уздовж довжини, тож за тієї самої площі передає більше тепла.

2Чому саме логарифмічне середнє

Різниця температур між рідинами не однакова всюди. Уздовж теплообмінника гаряча рідина охолоджується, а холодна нагрівається, тож різниця змінюється від одного кінця до іншого.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Назвіть різниці на двох кінцях ΔT1 і ΔT2. Різниця змінюється не по прямій, тому просте середнє не годиться. Правильне середнє — середньологарифмічне:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

Які температури стоять одна проти одної на кожному кінці, залежить від схеми:

  • Протитік: ΔT1 = Th,in − Tc,out і ΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • Прямотік: ΔT1 = Th,in − Tc,in і ΔT2 = Th,out − Tc,out.

Середньологарифмічне завжди трохи менше за середнє арифметичне. Якщо ΔT1 = ΔT2, то ΔTlm просто дорівнює цьому значенню.

Самоперевірка Протитік: гаряча рідина йде від 100 до 60 °C, холодна — від 20 до 50 °C. Які різниці на кінцях?
  1. 40 K і 30 K
  2. 50 K і 10 K
  3. 50 K і 40 K
  4. 80 K і 10 K

Відповідь: 50 K і 40 K. У протитоці гарячий вхід стоїть проти холодного виходу (100 − 50 = 50 K), а гарячий вихід проти холодного входу (60 − 20 = 40 K). 80 K і 10 K — це поєднання для прямотоку.

3Метод крок за кроком

  1. Запишіть чотири температури й перевірте, протитік це чи прямотік.
  2. Якщо бракує температури виходу, спершу знайдіть її з енергетичного балансу: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. Знайдіть різниці на кінцях ΔT1 і ΔT2 з правильним поєднанням.
  4. Обчисліть ΔTlm з натуральним логарифмом.
  5. Для площі: A = Q/(U·ΔTlm). Подайте Q у W (kW × 1000), коли U у W/(m²·K).
Самоперевірка Різниці на кінцях дорівнюють ΔT₁ = 40 K і ΔT₂ = 20 K. Чому дорівнює ΔTlm?
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

Відповідь: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. Середнє арифметичне, 30 K, близьке, але завелике.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Протитечійний теплообмінник передає 100 kW. Гаряча рідина охолоджується від 120 до 60 °C, а холодна нагрівається від 20 до 50 °C. Загальний коефіцієнт теплопередачі становить 500 W/(m²·K). Знайдіть площу теплопередачі A.

1

Накресліть температури

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Протитік, тож гарячий вхід (120 °C) стоїть проти холодного виходу (50 °C).

2

Різниці на кінцях

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

Площа

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

Перевірте відповідь

ΔTlm = 53,61 K лежить між 40 і 70 K та трохи нижче за їхнє середнє 55 K, як і має бути.

У прямотоці кінці були б 100 K і 10 K, що дає ΔTlm = 39,09 K і A = 5,12 m². Протитік потребує меншої площі.

Відповідь

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5Типові помилки

  • Поєднувати температури як для прямотоку в протитечійному теплообміннику або навпаки.
  • Використовувати середнє арифметичне замість середньологарифмічного.
  • Брати зміну температури одного потоку (наприклад, 120 − 60) як ΔT1. ΔT — це завжди гаряча мінус холодна на тому самому кінці.
  • Залишати Q у kW, коли U у W/(m²·K). Площа виходить у 1000 разів меншою.
  • Використовувати log₁₀ замість ln.
Самоперевірка Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) і ΔTlm = 25 K. Яка площа потрібна?
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

Відповідь: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Якщо залишити Q у kW, вийде 0,004 m², у 1000 разів менше. 0,25 m² виходить, якщо перевернути дріб.

6Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: знайдіть ΔTlm для протитечійного теплообмінника за чотирма температурами.
  • Середньо: знайдіть площу A для заданого навантаження та U, у протитоці або прямотоці, як у прикладі.
  • Складно: повний розрахунок. Температуру виходу води не задано: знайдіть Q за гарячим потоком, вихід води з енергетичного балансу, потім ΔTlm і A.

У деяких задачах є конденсатор: гаряча сторона конденсується за однієї сталої температури. Тоді обидві різниці на кінцях використовують цю температуру, а протитік і прямотік дають однакове ΔTlm.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
довжинаT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

У протитечійному теплообміннику гарячий теплоносій охолоджується з 100 до 80 °C, а холодний нагрівається з 30 до 85 °C. Знайдіть середньологарифмічну різницю температур ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

Знайти: ΔTlm (K)

Показати підказки
  1. Знайдіть різницю температур між потоками на кожному кінці теплообмінника.
  2. При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Відповідь

ΔTlm = 29,07 K
Приклад 2Середня
довжинаT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 60 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 165 до 115 °C, а холодний нагрівається з 10 до 80 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

Знайти: A (m²)

Показати підказки
  1. Скористайтеся Q̇ = U·A·ΔTlm і виразіть A.
  2. При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Відповідь

A = 1,488 m²
Приклад 3Складна
довжинаT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

Пара конденсується за сталої температури 105 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 3 m² і U = 1500 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 10 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

Знайти: Tc,out (°C)

Показати підказки
  1. Температура на виході невідома, тож LMTD не можна обчислити безпосередньо. Поєднайте Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) з Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. Звідси ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі

Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Температура на виході

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Відповідь

Tc,out = 72,63 °C

Передана теплота: Q̇ = 261,8 kW.

Запитання й відповіді

Теплообмінники (LMTD): що це?

Теплообмінник переносить тепло від гарячої рідини до холодної крізь металеву стінку, наприклад, трубу з гарячою оливою всередині та охолодною водою ззовні.

Скільки тепла він може передати, залежить від трьох речей: наскільки добре стінка проводить тепло, скільки стінки є і яка різниця температур між рідинами.

Теплообмінники (LMTD): як розв’язувати задачі крок за кроком?

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплообмінники (LMTD): які помилки найпоширеніші?
  • Різниця температур спадає експоненційно: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
Теплообмінники (LMTD): що ви тренуєте?
  • Легка: LMTD
  • Середня: потрібна площа
  • Складна: повне проєктування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Енергетичний баланс

Калькулятори

Калькулятор LMTD (середньологарифмічна різниця температур)

Курси з цією темою

ТепломасообмінПідготовка до іспиту FE Chemical

Інші теми: Хімічна інженерія

Матеріальний балансЕнергетичний балансРівняння стану ідеального газуХімічна кінетикаРозрахунок реакторів (CSTR і PFR)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Теплообмінники (LMTD)» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Теплообмінники (LMTD)Тренуйтеся зараз: Теплообмінники (LMTD)Безкоштовних задач щодня: 5. Без картки.