Робота й енергія: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: закон збереження енергії · механічна енергія

Безкоштовні задачі з теми Робота й енергія з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: вільне падіння, похила площина з тертям, рампа, тертя і пружина.

Безкоштовна задачаЛегка
m = 5 kggh = 38 m

М’яч масою 5 kg без початкової швидкості падає з висоти 38 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть його швидкість v безпосередньо перед ударом об землю.

m = 5 kgh = 38 mg = 9,81 m/s²
m/s
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Робота й енергіяТренуйтеся зараз: Робота й енергіяБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкавільне падіння
  2. Середняпохила площина з тертям
  3. Складнарампа, тертя і пружина

Основні формули

Кінетична енергія
Ek = ½mv²
Потенціальна енергія
Ep = mgh
Енергетичний баланс
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
Робота сили тертя
W = μ·N·d
Потужність
P = W/t

Вивчайте тему «Робота й енергія» з нуля

Перед цим: Закони Ньютона

1Що таке енергія

Енергія — це здатність змусити щось рухатися або змінитися. Її вимірюють у джоулях (J). Один джоуль — це енергія, потрібна, щоб штовхати із силою 1 N на відстані 1 m.

Енергія ніколи не створюється й не зникає. Вона лише змінює форму. М’яч, що падає, перетворює висоту на швидкість. Автомобіль, що гальмує, перетворює швидкість на тепло в гальмах.

Це дає потужний спрощений шлях. Замість того щоб стежити за рухом секунда за секундою через сили, ви порівнюєте енергію на початку з енергією наприкінці.

У цій темі ви зустрінете три форми механічної енергії: енергію руху, енергію висоти й енергію, запасену в пружині. Тертя забирає енергію й перетворює її на тепло.

Самоперевірка Ящик ковзає по шорсткій підлозі й зупиняється. Що сталося з його кінетичною енергією?
  1. Вона все ще зберігається в ящику як швидкість
  2. Вона зникла
  3. Вона стала потенціальною енергією
  4. Тертя перетворило її на тепло

Відповідь: Тертя перетворило її на тепло. Енергія не може зникнути. На горизонтальній підлозі висота не змінюється, тож уся кінетична енергія перейшла в тепло через тертя.

2Робота й кінетична енергія

Сила виконує роботу, коли переміщує щось. Робота — це сила, помножена на відстань, пройдену в напрямку сили:

W = F · d · cos α

Тут α — кут між силою й рухом. Сила вздовж руху (α = 0) виконує повну роботу. Сила під прямим кутом (α = 90°) не виконує жодної роботи.

Енергія руху — це кінетична енергія. Вона зростає пропорційно квадрату швидкості, тож подвоєння швидкості дає чотириразову енергію:

Ek = ½ · m · v²

Робота всіх сил разом дорівнює зміні кінетичної енергії. Це теорема про роботу й енергію.

Самоперевірка Мотузка тягне ящик на 4 m по горизонтальній підлозі із силою 50 N під кутом 60° над горизонталлю. Яку роботу виконує мотузка?
  1. 100 J
  2. 12,5 J
  3. 173 J
  4. 200 J

Відповідь: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J. Якщо пропустити cos α, вийде 200 J, а якщо використати sin 60° — 173 J.

3Потенціальна енергія: висота й пружини

Предмет, що розташований вище, може впасти й набрати швидкість. Енергія, яку він має через свою висоту, — це гравітаційна потенціальна енергія:

Ep = m · g · h

Важить лише зміна висоти, тож нульовий рівень ви обираєте самі. Найнижча точка руху зазвичай найзручніший вибір.

Пружина, стиснута або розтягнута на відстань x, запасає пружну енергію. Тут k — жорсткість пружини в N/m:

Es = ½ · k · x²

Зберіть усе разом в одному енергетичному балансі. Wf — робота проти тертя, яка йде як тепло:

Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf

Для вільного падіння зі стану спокою без тертя це дає m·g·h = ½·m·v², тож v = √(2gh). Маса скорочується.

Самоперевірка Камінь падає зі стану спокою з висоти 20 m. Нехтуючи опором повітря, з якою швидкістю він рухається, коли досягає землі? (g = 9,81 m/s²)
  1. 14,0 m/s
  2. 19,8 m/s
  3. 196 m/s
  4. 392 m/s

Відповідь: 19,8 m/s. v = √(2 · 9,81 · 20) = √392,4 = 19,8 m/s. 392 m/s забуває квадратний корінь, а 14,0 m/s забуває множник 2 від ½ у ½·m·v².

4Метод крок за кроком

  1. Намалюйте ситуацію. Позначте початкову точку 1 і кінцеву точку 2 та оберіть нульовий рівень висоти.
  2. Запишіть енергію в точці 1: Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1, а також ½·k·x1², якщо пружину стиснуто.
  3. Запишіть енергію в точці 2 так само. Невідоме залиште символом.
  4. Знайдіть роботу проти тертя. На схилі нормальна сила дорівнює N = m·g·cos θ, тож Wf = μ·m·g·cos θ·d, де d — пройдена ковзанням відстань.
  5. Підставте в енергетичний баланс і розв’яжіть щодо невідомого.

Малюйте й сили, навіть коли користуєтеся лише енергією. Малюнок показує, які сили виконують роботу, а які ні.

θmgNF = μNvm

Нормальна сила N перпендикулярна до руху, тож не виконує роботи. Вона важлива лише тому, що від неї залежить тертя.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Брусок масою 2 kg ковзає зі стану спокою вниз по схилу під кутом 30° до горизонталі. Коефіцієнт кінетичного тертя дорівнює 0,2. Використайте g = 9,81 m/s². Знайдіть його швидкість після того, як він проковзнув 5 m по схилу.

1

Намалюйте ситуацію

θmd = 5 mh = 2,5 mv = ?

Точка 1 — початок, точка 2 — на 5 m далі вниз по схилу. Помістіть нульовий рівень висоти в точку 2.

2

Втрачена висота

Брусок ковзає 5 m по схилу, але падає лише на вертикальну частину цього шляху:

h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2,5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9,81 · 2,5 = 49,05 J
3

Робота проти тертя

На схилі нормальна сила менша за вагу:

N = m · g · cos θ = 2 · 9,81 · cos 30° = 16,99 N
Wf = μ · N · d = 0,2 · 16,99 · 5 = 16,99 J
4

Енергетичний баланс

Брусок починає зі стану спокою, тож Ek1 = 0. У точці 2 висота дорівнює нулю:

Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49,05 − 16,99 = 32,06 J
5

Знайдіть швидкість

½ · 2 · v² = 32,06
v = √32,06 = 5,66 m/s
6

Перевірте відповідь

Без тертя брусок досяг би √(2 · 9,81 · 2,5) = 7,00 m/s. Тертя має його сповільнити, і 5,66 m/s повільніше. Відповідь правдоподібна.

Маса зрештою скорочується: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32,06, що дає ті самі 5,66 m/s.

Відповідь

Брусок досягає v ≈ 5,66 m/s після ковзання на 5 m.

6Типові помилки

  • Використовувати вагу m·g як нормальну силу на схилі. На схилі N = m·g·cos θ.
  • Використовувати відстань уздовж схилу як висоту. Падіння висоти дорівнює d·sin θ.
  • Забувати квадратний корінь наприкінці: ½·m·v² дає v², а не v.
  • Додавати роботу тертя до кінцевої енергії з неправильним знаком. Тертя завжди забирає енергію з руху.
  • Записувати енергію пружини як k·x замість ½·k·x² або залишати x у cm.
Самоперевірка Брусок масою 1 kg ковзає на 2 m по схилу 30° з μ = 0,5. Яка робота виконується проти тертя? (g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 J
  2. 4,91 J
  3. 8,50 J
  4. 9,81 J

Відповідь: 8,50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0,5 · 1 · 9,81 · cos 30° · 2 = 8,50 J. Використання m·g як нормальної сили дає 9,81 J, а використання sin θ замість cos θ дає 4,91 J.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: вільне падіння та інші одиничні перетворення. М’яч, що падає (знайти v або Ek), маятник, відпущений під кутом, брусок, що врізається в пружину, робота тягнучої мотузки або потужність підйомника (P = m·g·h / t).
  • Середній: брусок на схилі з тертям: знайти швидкість після відстані або роботу проти тертя. Варіації: автомобіль, що юзом зупиняється, пружинна катапульта й потужність, потрібна для їзди вгору схилом.
  • Складний: кілька етапів в одному запитанні. Наприклад, гладка рампа, потім шорстка ділянка, потім пружина: знайти швидкість біля пружини або максимальне стиснення. Інші поєднують тягнутий брусок, петлю чи два з’єднані бруски.

У складних запитаннях запишіть один енергетичний баланс від самого початку до самого кінця. Додайте роботу тертя кожної шорсткої ділянки.

Для максимального стиснення пружини брусок на мить зупиняється, тож уся його кінетична енергія міститься в пружині: ½·m·v² = ½·k·x².

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
m = 0,5 kggh = 11 m

М’яч масою 0,5 kg без початкової швидкості падає з висоти 11 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть його швидкість v безпосередньо перед ударом об землю.

m = 0,5 kgh = 11 mg = 9,81 m/s²

Знайти: v (m/s)

Показати підказки
  1. Енергія зберігається: потенціальна енергія вгорі стає кінетичною внизу.
  2. mgh = ½mv², тож маса скорочується: v = √(2gh).
  3. 2gh = 215,8 m²/s².
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс

Початок — спокій на висоті h; кінець — на землі зі швидкістю v.

mgh = ½mv² → v = √(2gh)
v = √(2·9,81·11) = 14,69 m/s

Відповідь

v = 14,69 m/s
Приклад 2Середня
45°d = 19 mμ = 0,35

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,35. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 19 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,35d = 19 mg = 9,81 m/s²

Знайти: v (m/s)

Показати підказки
  1. Сила нормальної реакції на похилій площині N = mg·cos θ, тож тертя дорівнює μmg·cos θ.
  2. Енергетичний баланс на шляху d: mg·d·sin θ = ½mv² + μmg·cos θ·d. Маса скорочується.
  3. sin θ = 0,7071, cos θ = 0,7071.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9,81·19·(0,7071 − 0,35·0,7071)) = 13,09 m/s

Відповідь

v = 13,09 m/s
Приклад 3Складна
h = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/m

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

Знайти: x (cm)

Показати підказки
  1. Простежте енергію від відпускання до кінця: потенціальна енергія вгорі мінус втрати на тертя на шорсткій смузі перетворюється на кінетичну енергію або енергію пружини.
  2. Тертя на рівній смузі забирає μ·mg·L. При найбільшому стисненні брусок на мить зупиняється, тож уся залишкова енергія — ½kx².
  3. mg(h − μL) = 95,65 J.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,15·4) = 95,65 J

Найбільше стиснення

½kx² = 95,65 → x = √(2·95,65/500) = 0,6185 m = 61,85 cm

Відповідь

x = 61,85 cm

Запитання й відповіді

Робота й енергія: що це?

Енергія ніколи не створюється й не зникає. Вона лише змінює форму. М’яч, що падає, перетворює висоту на швидкість. Автомобіль, що гальмує, перетворює швидкість на тепло в гальмах.

Це дає потужний спрощений шлях. Замість того щоб стежити за рухом секунда за секундою через сили, ви порівнюєте енергію на початку з енергією наприкінці.

Робота й енергія: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Робота й енергія: що ви тренуєте?
  • Легка: вільне падіння
  • Середня: похила площина з тертям
  • Складна: рампа, тертя і пружина

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Закони Ньютона

Далі

Обертання твердого тіла

Калькулятори

Калькулятор кінетичної енергії (а також потенціальної енергії, роботи й потужності)

Курси з цією темою

ДинамікаФізика для інженерівФізика 1: МеханікаПідготовка до іспиту FE MechanicalТренувальні задачі AP Physics 1

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балокРами та механізмиОсьове напруження й деформаціяКручення валівКоло Мора й перетворення напруженьРух тіла, кинутого під кутомОбертання твердого тілаМеханічні коливанняТеплові машини й холодильникиГазові цикли теплових двигунівНерозривність і БернулліТертя в трубах і втрати напоруНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Робота й енергія» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Робота й енергіяТренуйтеся зараз: Робота й енергіяБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.