Закони Ньютона: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: динаміка · другий закон Ньютона

Безкоштовні задачі з теми Закони Ньютона з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: штовхання з тертям, похила площина, стіл і блок.

Безкоштовна задачаЛегка
45 kgF = ?a = 2,5 m/s²μ = 0,25

Ящик масою 45 kg тягнуть підлогою за горизонтальну мотузку. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яка сила тяги F надає ящику прискорення 2,5 m/s²?

m = 45 kgμ = 0,25a = 2,5 m/s²g = 9,81 m/s²
N
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Закони НьютонаТренуйтеся зараз: Закони НьютонаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаштовхання з тертям
  2. Середняпохила площина
  3. Складнастіл і блок

Як розв’язувати задачі на тему «Закони Ньютона»

  1. Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
  2. Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
  3. Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
  4. Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Типові помилки

  • Беруть m·g як нормальну силу на похилій площині.
  • Плутають sin і cos кута нахилу.
  • Розглядають зв’язані тіла окремо, не враховуючи спільного натягу.

Основні формули

Другий закон
ΣF = m·a
Вага
W = m·g
Тертя ковзання
Ff = μ·N
На похилій площині
уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Вивчайте тему «Закони Ньютона» з нуля

Перед цим: Кінематика

1Що кажуть закони Ньютона

Кінематика описує рух. Закони Ньютона його пояснюють: тіло змінює швидкість лише тоді, коли на нього діє результуюча сила.

  • Перший закон: якщо сили, що діють на тіло, зрівноважені, воно залишається в спокої або продовжує рухатися зі сталою швидкістю.
  • Другий закон: результуюча сила дає прискорення в тому самому напрямку. Більша сила — більше прискорення. Більша маса — менше прискорення.
  • Третій закон: якщо A тисне на B, то B тисне на A з рівною силою у протилежному напрямку.

Другий закон — той, яким ви обчислюєте:

ΣF = m · a

ΣF («сума F») — це результуюча сила: усі сили, додані з їхніми знаками. Сила вимірюється в ньютонах (N), маса в kg, а прискорення в m/s². Один ньютон надає масі 1 kg прискорення 1 m/s².

Самоперевірка Результуюча сила 12 N діє на візок масою 4 kg. Яке його прискорення?
  1. 0,33 m/s²
  2. 16 m/s²
  3. 3 m/s²
  4. 48 m/s²

Відповідь: 3 m/s². a = ΣF/m = 12/4 = 3 m/s². Множення (48) або ділення маси на силу (0,33) — звичайні промахи. Перевірте одиницю: N/kg = m/s².

2Сили, з якими ви зустрінетеся

Більшість запитань використовує ті самі чотири види сил. Намалюйте кожну як стрілку на тілі: цей малюнок — діаграма вільного тіла.

FFf​Nm·gm
  • Вага W = m·g, прямо вниз, з g = 9,81 m/s².
  • Нормальна сила N: поверхня тисне у відповідь, під прямим кутом до поверхні. На горизонтальній підлозі без інших вертикальних сил N = m·g.
  • Тертя Ff = μ·N, уздовж поверхні й проти руху. μ (мю) — коефіцієнт тертя, число на кшталт 0,3.
  • Натяг T у нитці чи мотузці, що тягне вздовж нитки. Легка нитка має однаковий натяг на обох кінцях.

Потім додайте сили вздовж напрямку руху. На діаграмі ΣF = F − Ff, бо тертя спрямоване назад.

Самоперевірка Брусок масою 2 kg ковзає по горизонтальній підлозі. Коефіцієнт кінетичного тертя дорівнює 0,5, а g = 9,81 m/s². Яка сила тертя?
  1. 1 N
  2. 19,62 N
  3. 4,9 N
  4. 9,81 N

Відповідь: 9,81 N. N = m·g = 2 · 9,81 = 19,62 N і Ff = μ·N = 0,5 · 19,62 = 9,81 N. 19,62 N — це нормальна сила без μ. 1 N забуває g: μ·m не є силою.

3Тіла на схилі

На схилі розкладіть вагу на дві частини. Візьміть кут θ схилу з горизонталлю.

m·gm·g·sin θm·g·cos θNFf​θ
  • m·g·sin θ тягне тіло вниз уздовж схилу.
  • m·g·cos θ притискає його до схилу. Нормальна сила врівноважує цю частину, тож N = m·g·cos θ.

Тоді тертя дорівнює μ·m·g·cos θ і спрямоване вгору по схилу, коли тіло ковзає вниз. Крутіший схил дає більший sin θ і менший cos θ, тож тіло розганяється швидше.

Два тіла, з’єднані ниткою через блок, рухаються з однаковим прискоренням. Спершу розглядайте їх як одну систему з повною масою, потім подивіться на одне тіло окремо, щоб знайти натяг.

4Метод крок за кроком

  1. Намалюйте діаграму вільного тіла з кожною силою, що діє на тіло. Не забудьте жодної ваги й жодної нормальної сили.
  2. Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
  3. Розкладіть сили на складові вздовж руху й під прямим кутом до нього. На схилі: m·g·sin θ вздовж, m·g·cos θ у схил.
  4. Використайте сили під прямим кутом, щоб знайти N. У цьому напрямку прискорення немає.
  5. Знайдіть тертя за Ff = μ·N, проти руху.
  6. Застосуйте ΣF = m·a вздовж руху й розв’яжіть щодо невідомого.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Брусок масою 10 kg ковзає вниз по схилу під кутом 30° до горизонталі. Коефіцієнт кінетичного тертя дорівнює 0,2. Використайте g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж схилу.

1

Розкладіть вагу

m·g = 10 · 9,81 = 98,1 N
уздовж: 98,1 · sin 30° = 49,05 N перпендикулярно: 98,1 · cos 30° = 84,96 N
m·g49,05 N84,96 NNFf​30°
2

Сила нормальної реакції

Руху в схил немає, тож нормальна сила врівноважує частину ваги, що притискає до нього.

N = 84,96 N
3

Тертя

Брусок ковзає вниз, тож тертя спрямоване вгору по схилу.

Ff = μ·N = 0,2 · 84,96 = 16,99 N
4

Другий закон Ньютона

Візьміть напрямок вниз по схилу за додатний.

m·a = 49,05 − 16,99 = 32,06 N
a = 32,06 / 10 = 3,21 m/s²
5

Перевірте відповідь

Без тертя прискорення було б g·sin 30° = 4,905 m/s². Тертя має його зменшити, і 3,21 m/s² менше. Маса скорочується: a = g·(sin θ − μ·cos θ).

Відповідь

Брусок прискорюється вниз по схилу з a ≈ 3,21 m/s².

6Типові помилки

  • Плутати sin і cos на схилі. Уздовж схилу — sin θ, у схил — cos θ.
  • Використовувати N = m·g на схилі або коли мотузка тягне частково вгору. Знаходьте N із сил під прямим кутом до руху.
  • Спрямовувати тертя не в той бік. Воно завжди протидіє руху.
  • Забувати силу, наприклад вагу підвішеної маси, або враховувати силу двічі.
  • Застосовувати ΣF = m·a лише з прикладеною силою замість результуючої.
Самоперевірка Брусок масою 4 kg лежить на схилі 30°. За g = 9,81 m/s², яка частина його ваги тягне його вниз уздовж схилу?
  1. 19,62 N
  2. 22,65 N
  3. 33,98 N
  4. 39,24 N

Відповідь: 19,62 N. Уздовж схилу: m·g·sin 30° = 39,24 · 0,5 = 19,62 N. 33,98 N використовує cos θ, тобто частину в схил. 39,24 N — це вся вага.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: поштовх із тертям на горизонтальній підлозі, два бруски, що штовхають разом, або людина на вагах у ліфті.
  • Середній: похила площина: брусок, що ковзає вниз, ящик, який штовхають вгору зі сталою швидкістю, або сани, які тягнуть мотузкою під кутом.
  • Складний: стіл і блок: брусок на столі чи рампі, прив’язаний через блок до підвішеної маси. Знайдіть спільне прискорення й натяг.

За сталої швидкості прискорення дорівнює нулю, тож сили зрівноважені: ΣF = 0.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
m = 30 kgF = 65 Nμ = 0,2a = ?

Ящик масою 30 kg штовхають підлогою горизонтальною силою 65 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a ящика.

m = 30 kgF = 65 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

Знайти: a (m/s²)

Показати підказки
  1. На горизонтальній підлозі сила нормальної реакції дорівнює вазі: N = m·g.
  2. Тертя дорівнює μ·N і спрямоване проти руху.
  3. тертя = 58,86 N.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сила тертя

N = m·g = 30·9,81 = 294,3 N
Ff = μ·N = 0,2·294,3 = 58,86 N

Другий закон Ньютона

a = (F − Ff)/m = (65 − 58,86)/30 = 0,2047 m/s²

Відповідь

a = 0,2047 m/s²
Приклад 2Середня
25 kg35°F = 140 Nμ = 0,25

Санки масою 25 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 35° над горизонталлю із силою 140 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 25 kgF = 140 Nθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

Знайти: a (m/s²)

Показати підказки
  1. Розкладіть силу тяги на F·cos θ (уперед) і F·sin θ (угору).
  2. По вертикалі: N + F·sin θ = m·g. Сила тертя μ·N.
  3. N = 164,9 N.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 140·sin 35° = 164,9 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 114,7 − 41,24
a = 73,44/25 = 2,938 m/s²

Відповідь

a = 2,938 m/s²
Приклад 3Складна
m1​ = 7 kg0,5 kgбез тертя

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 0,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m1 = 7 kgm2 = 0,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

Знайти: T (N)

Показати підказки
  1. Розглядайте обидва тіла як одну систему: вага підвішеного вантажу рухає її, а тертя об стіл гальмує.
  2. a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂).
  3. Потім застосуйте ΣF = m·a лише до бруска на столі.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (4,905 − 0)/7,5 = 0,654 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m1·g = m1·a
T = 7·0,654 + 0 = 4,578 N

Відповідь

T = 4,578 N

Запитання й відповіді

Закони Ньютона: що це?

Кінематика описує рух. Закони Ньютона його пояснюють: тіло змінює швидкість лише тоді, коли на нього діє результуюча сила.

Другий закон — той, яким ви обчислюєте:

Закони Ньютона: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
  2. Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
  3. Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
  4. Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.
Закони Ньютона: які помилки найпоширеніші?
  • Беруть m·g як нормальну силу на похилій площині.
  • Плутають sin і cos кута нахилу.
  • Розглядають зв’язані тіла окремо, не враховуючи спільного натягу.
Закони Ньютона: що ви тренуєте?
  • Легка: штовхання з тертям
  • Середня: похила площина
  • Складна: стіл і блок

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Кінематика

Далі

Рух по колуЗакон Кулона й електричне полеРобота й енергіяІмпульс і зіткненняОбертання твердого тілаПружини й маятники

Калькулятори

Конвертер інженерних одиниць

Курси з цією темою

ДинамікаФізика для інженерівФізика 1: МеханікаТренувальні задачі AP Physics 1

Інші теми: Фізика

КінематикаРух по колуІмпульс і зіткненняПружини й маятникиЗакон Кулона й електричне полеМагнітні поля та індукціяХвилі, звук і оптика

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Закони Ньютона» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Закони НьютонаТренуйтеся зараз: Закони НьютонаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.