Рух по колу: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Рух по колу з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: доцентрова сила, тертя на повороті, вертикальне коло.

Безкоштовна задачаЛегка
r = 100 m29 m/sF = ?

Автомобіль масою 1600 kg проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m зі сталою швидкістю 29 m/s. Знайдіть потрібну доцентрову силу Fc.

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m
N
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Рух по колуТренуйтеся зараз: Рух по колуБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкадоцентрова сила
  2. Середнятертя на повороті
  3. Складнавертикальне коло

Основні формули

Доцентрове прискорення
a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила
F = m·v²/r
Кутова швидкість
ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя
vmax = √(μ·g·r)

Вивчайте тему «Рух по колу» з нуля

Перед цим: Закони Ньютона

1Що таке рух по колу

Автомобіль у повороті, камінь на нитці та супутник навколо Землі рухаються по колу. Навіть зі сталою швидкістю їхній напрям постійно змінюється.

Зміна напряму — це зміна швидкості, тож тіло прискорюється. Це прискорення напрямлене до центра кола. Його називають доцентровим прискоренням ac.

rvac​v ⊥ rac​ = v²/r

Швидкість завжди напрямлена по дотичній, під прямим кутом до радіуса. Якби притягання всередину раптом зникло, тіло полетіло б по прямій уздовж дотичної, а не назовні.

Самоперевірка Автомобіль їде навколо кільцевої розв’язки зі сталою швидкістю. У якому напрямі він прискорюється?
  1. Він не прискорюється
  2. До центра кола
  3. Назовні, від центра
  4. Уперед, уздовж швидкості

Відповідь: До центра кола. Швидкість стала, але напрям змінюється, тож прискорення є. Воно напрямлене до центра. Відчуття «назовні» — це ваше тіло, що намагається рухатися прямо.

2Доцентрове прискорення й сила

Доцентрове прискорення залежить від швидкості v (m/s) і радіуса r (m):

ac = v² / r

Удвічі більша швидкість дає вчетверо більше прискорення. Крутіший поворот (менший r) дає більше прискорення.

За другим законом Ньютона щось має створювати спрямовану всередину силу такої величини:

Fc = m · v² / r

Fc — не нова сила. Це результуюча сила, спрямована всередину, утворена реальними силами: тертям на плоскому повороті, натягом нитки, тяжінням для супутника або нормальною реакцією на віражі.

Тіла, що обертаються, часто описують кутовою швидкістю ω в rad/s. Один оберт — це 2π rad, тож 60 rpm — це 2π rad/s.

ω = v / r = 2π / T ac = ω² · r
Самоперевірка Велосипедист їде зі швидкістю 10 m/s по повороту радіусом 50 m. Яке доцентрове прискорення?
  1. 0,2 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 5 m/s²
  4. 5000 m/s²

Відповідь: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s². Якщо забути піднести швидкість до квадрата, вийде 10/50 = 0,2 m/s².

3Метод крок за кроком

  1. Переведіть швидкості в m/s, радіуси в m, а rpm у rad/s.
  2. Накресліть тіло в розглянутій точці й позначте напрям до центра.
  3. Накресліть реальні сили: вагу, нормальну реакцію, тертя, натяг.
  4. Візьміть напрям «до центра» за додатний і додайте складові сил у цьому напрямі.
  5. Прирівняйте цю результуючу силу, спрямовану всередину, до m·v²/r і розв’яжіть.

На плоскому повороті внутрішню силу створює лише тертя. Найбільша швидкість до заносу випливає з μ·m·g = m·v²/r. Маса скорочується:

vmax = √(μ · g · r)

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Автомобіль проходить плоский поворот радіусом 40 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою — 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

1

Яка сила спрямована всередину?

На плоскій дорозі тяжіння й нормальна реакція вертикальні. Лише тертя діє вбік, до центра повороту.

2

Найбільша сила тертя

На горизонтальній дорозі N = m·g, тож тертя може бути щонайбільше:

Ff,max = μ · m · g
3

Прирівняйте до доцентрової сили

μ · m · g = m · v² / r

Маса m є в обох частинах і скорочується, тож відповідь однакова для малолітражки й вантажівки.

4

Розв’яжіть відносно швидкості

v² = μ · g · r = 0,5 · 9,81 · 40 = 196,2 m²/s²
vmax = √196,2 ≈ 14,0 m/s
5

Перевірте відповідь

14,0 m/s × 3,6 ≈ 50 km/h. Це розумна гранична швидкість для крутого повороту радіусом 40 m. Слизька дорога (менше μ) дала б меншу швидкість.

Відповідь

vmax ≈ 14,0 m/s, близько 50 km/h.

5Вертикальні кола

У вертикальному колі вага іноді напрямлена до центра, а іноді від нього. Розгляньте верх і низ окремо.

Tm·gTm·gT + m·g = m·v²/rT − m·g = m·v²/r
  • У верхній точці натяг (або нормальна реакція) і вага напрямлені вниз, до центра.
  • У нижній точці натяг напрямлений угору до центра, а вага — від нього. Нитка має втримати вагу й створити доцентрову силу.

У верхній точці нитка ледве лишається натягнутою, коли T = 0. Тоді внутрішню силу створює лише вага: m·g = m·v²/r, тож vmin = √(g·r).

Якщо відома швидкість в одній точці й потрібна в іншій, скористайтеся енергією: підйом на 2r коштує 2·g·r від v²/2 на кілограм, тож vtop² = vbottom² − 4·g·r.

6Типові помилки

  • Малювати доцентрову силу як додаткову силу поруч із тертям чи натягом. Це сума реальних сил.
  • Забути піднести швидкість до квадрата у v²/r.
  • Використовувати km/h або rpm безпосередньо. Спершу переведіть у m/s або rad/s.
  • Помилитися зі знаком ваги у вертикальному колі: угорі вона допомагає, а внизу діє проти нитки.
  • Думати, що на тіло діє сила назовні. У системі відліку, пов’язаній із землею, її немає.
Самоперевірка М’яч масою 0,5 kg на нитці довжиною 1 m рухається зі швидкістю 4 m/s у найнижчій точці вертикального кола. При g = 9,81 m/s² який там натяг?
  1. 12,9 N
  2. 3,1 N
  3. 4,9 N
  4. 8 N

Відповідь: 12,9 N. Унизу T − m·g = m·v²/r, тож T = 0,5 · 9,81 + 0,5 · 16/1 = 4,9 + 8 = 12,9 N. 8 N забуває вагу. 3,1 N віднімає вагу замість додавати.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкі: доцентрова сила. Знайдіть ac або Fc для автомобіля в повороті, каменя на нитці чи точки на диску, що обертається.
  • Середні: тертя на повороті та споріднені випадки: найбільша швидкість на плоскому повороті, віраж, горб на дорозі, конічний маятник або атракціон-ротор.
  • Складні: вертикальне коло. Натяг угорі чи внизу, найменша швидкість угорі або «мертва петля» зі збереженням енергії.

У кожному випадку спершу запитайте: яка реальна сила або яка комбінація сил спрямована до центра?

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
r = 110 m14 m/sF = ?

Автомобіль масою 1700 kg проходить горизонтальний поворот радіусом 110 m зі сталою швидкістю 14 m/s. Знайдіть потрібну доцентрову силу Fc.

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

Знайти: Fc (N)

Показати підказки
  1. Рух по колу зі сталою за модулем швидкістю — це однаково рух із прискоренням, спрямованим до центра.
  2. a = v²/r і F = m·a.
  3. v² = 196 m²/s².
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Доцентрове прискорення

ac = v²/r = 14²/110 = 1,782 m/s²

Доцентрова сила

Fc = m·a = 1700·1,782 = 3029 N

Відповідь

Fc = 3029 N
Приклад 2Середня
r = 50 mvmax​ = ?

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 50 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 50 mμs = 0,3g = 9,81 m/s²

Знайти: vmax (m/s)

Показати підказки
  1. Тертя — єдина сила, спрямована до центра, і вона не може перевищувати μ·m·g.
  2. Прирівняйте m·v²/r = μ·m·g. Маса скорочується.
  3. v = √(μ·g·r).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·50) = 12,13 m/s

Відповідь

vmax = 12,13 m/s (43,67 km/h)
Приклад 3Складна
R = 3,5 mh = 11,9 m

Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 11,9 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 3,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції Nbottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 1 kgh = 11,9 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

Знайти: Nbottom (N)

Показати підказки
  1. Енергія: у нижній точці v² = 2g·h.
  2. У нижній точці: N − m·g = m·v²/R.
  3. v² = 233,5 m²/s².
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·11,9 = 233,5 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 1·233,5/3,5 + 9,81 = 76,52 N

Відповідь

Nbottom = 76,52 N

Запитання й відповіді

Рух по колу: що це?

Автомобіль у повороті, камінь на нитці та супутник навколо Землі рухаються по колу. Навіть зі сталою швидкістю їхній напрям постійно змінюється.

Зміна напряму — це зміна швидкості, тож тіло прискорюється. Це прискорення напрямлене до центра кола. Його називають доцентровим прискоренням ac.

Рух по колу: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Рух по колу: які помилки найпоширеніші?
  • Піднесіть швидкість до квадрата: a = v²/r.
  • Це v². Добудьте квадратний корінь: v = √(μ·g·r).
  • Подайте швидкість у m/s, а не в km/h.
Рух по колу: що ви тренуєте?
  • Легка: доцентрова сила
  • Середня: тертя на повороті
  • Складна: вертикальне коло

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Закони Ньютона

Далі

Магнітні поля та індукція

Калькулятори

Калькулятор доцентрової сили

Курси з цією темою

ДинамікаФізика 1: МеханікаТренувальні задачі AP Physics 1

Інші теми: Фізика

КінематикаЗакони НьютонаІмпульс і зіткненняПружини й маятникиЗакон Кулона й електричне полеМагнітні поля та індукціяХвилі, звук і оптика

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Рух по колу» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Рух по колуТренуйтеся зараз: Рух по колуБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.