Магнітні поля та індукція: задачі з покроковими розв’язками
Безкоштовні задачі з теми Магнітні поля та індукція з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: поля струмів і магнітні сили, заряджені частинки, Фарадей і Ленц, генератори, індуктивність і пучки частинок.
Безкоштовна задачаЛегка
Плоска колова котушка з 100 витків і радіусом 2 см проводить струм 0,5 А. Знайдіть магнітну індукцію B у її центрі.
Як розв’язувати задачі на тему «Магнітні поля та індукція»
Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.
Типові помилки
Залишати довжини в см або площі в см².
Використовувати формулу провідника для витка чи соленоїда.
Брати кут до площини в Φ = BA·cos θ, тоді як потрібен кут до нормалі.
Забувати змінити напрямок сили для від’ємного заряду.
Кожен електричний струм оточений магнітним полем B, яке вимірюють у теслах (Тл). Поле Землі становить близько 50 мкТл; магніт на холодильнику — кілька мТл.
Навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола. Спрямуйте великий палець правої руки вздовж струму: пальці вигнуться в напрямку B (правило правої руки, або правило свердлика). На малюнках ⊗ означає поле в площину сторінки, а ⊙ — із неї.
провід: B = μ₀I/(2πr) центр витка: B = μ₀NI/(2R) соленоїд: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Завжди використовуйте метри: 5 см — це 0,05 м. Усередині довгого соленоїда поле однорідне й не залежить від радіуса.
Самоперевірка Відстань від довгого прямого дроту подвоюється. Що станеться з B?
Вона зменшиться вдвічі
Вона подвоїться
Воно впаде до чверті
Залишається незмінною
Відповідь: Вона зменшиться вдвічі. B = μ₀I/(2πr) спадає як 1/r, тож удвічі більша відстань дає вдвічі менше поле. Закон 1/r² стосується точкових зарядів, а не дротів.
2Магнітні сили
Поле діє на рухомі заряди. На прямий провідник довжиною L зі струмом I і на один заряд q, що рухається зі швидкістю v:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ — кут між струмом (або швидкістю) і полем: дріт, паралельний B, не відчуває сили. Сила перпендикулярна до обох. Пальці правої руки вздовж v, зігніть їх до B: великий палець указує F для додатного заряду. Для електрона напрямок зворотний.
Оскільки сила завжди перпендикулярна до швидкості, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло. З рівності |q|vB = mv²/r маємо r = mv/(|q|B). Час одного оберту, T = 2πm/(|q|B), не залежить від швидкості.
Два паралельні дроти притягуються, коли струми в них течуть в один бік, і відштовхуються, коли у протилежні, із F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Самоперевірка Протон і електрон рухаються з однаковою швидкістю в тому самому полі. Хто рухається по більшому колу?
Електрон
Жоден: вони рухаються по прямих
Обидва кола однакового розміру
Протон
Відповідь: Протон. r = mv/(|q|B). Обидва мають однаковий за величиною заряд, але протон приблизно в 1836 раз важчий, тож його коло в 1836 раз більше. До того ж вони відхиляються в протилежних напрямках.
3Потік і закон Фарадея
Магнітний потік крізь контур показує, скільки поля крізь нього проходить: Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Одиниця: вебер (Вб = Тл·м²).
Коли потік крізь котушку змінюється, індукується ЕРС (закон Фарадея). Індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні (правило Ленца):
ε = −N·ΔΦ/Δt
Потік може змінюватися, бо змінюється B, бо змінюється площа або бо котушка обертається. Перевертання котушки в полі змінює потік на протилежний, тож ΔΦ = 2BA.
Стрижень довжиною L, що рухається зі швидкістю v поперек поля, замітає площу, тож ε = BLv. З резистором R струм дорівнює I = ε/R, а поле штовхає цей струм назад із силою F = BIL: треба постійно тягти, щоб стрижень рухався.
Самоперевірка Поле, спрямоване в площину сторінки крізь контур, зростає. У який бік тече індукований струм, якщо дивитися спереду?
За годинниковою стрілкою
Залежить від розміру контуру
Проти годинникової стрілки
Струму немає
Відповідь: Проти годинникової стрілки. Індукований струм протидіє зростанню потоку в площину сторінки, тож його власне поле всередині контуру спрямоване зі сторінки. За правилом правої руки для цього потрібен струм проти годинникової стрілки.
4Генератори та індуктивність
Котушка з N витків і площею A, що обертається з кутовою швидкістю ω у полі B, дає синусоїдну ЕРС з амплітудою E₀ = NBAω. Діюче значення — E₀/√2, а ω = 2π·n/60 для n в об/хв.
Змінний струм у котушці змінює її власний потік, що індукує ЕРС, яка протидіє зміні: це самоіндукція L, у генрі (Гн).
ε = L·ΔI/Δt довгий соленоїд: L = μ₀N²A/l енергія: W = ½LI²
Дві котушки зі спільним потоком мають взаємну індуктивність M: змінний струм в одній індукує в іншій ε₂ = M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂) і 0 ≤ k ≤ 1. На цьому ґрунтуються трансформатори.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Металевий стрижень довжиною 40 см ковзає зі швидкістю 5 м/с по рейках у полі 0,5 Тл. Рейки з’єднані резистором 2 Ом. Знайдіть струм і силу, потрібну для підтримання сталої швидкості стрижня.
1
Індукована ЕРС
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Струм
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Гальмівна сила
Струм у стрижні перебуває в полі, тож на стрижень діє F = BIL, протилежна його руху (Ленц).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Перевірте енергією
Потужність тяги F·v = 0,10 · 5 = 0,5 Вт дорівнює теплу в резисторі, I²R = 0,25 · 2 = 0,5 Вт. Енергія зберігається.
Відповідь
I = 0,5 А і F = 0,10 Н.
6Типові помилки
Залишати відстані в см або площі в см². 1 см² = 10⁻⁴ м².
Плутати формули: μ₀I/(2πr) для дроту, μ₀NI/(2R) для центра витка, μ₀nI для соленоїда.
Брати в Φ = BA·cos θ кут до площини замість кута до нормалі.
Брати в законі Фарадея кінцеве поле замість зміни поля.
Забувати змінити напрямок сили для від’ємного заряду.
Плутати амплітудне й діюче значення для генератора.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкий: B дроту, витка або соленоїда, сила, що діє на дріт або рухомий заряд, і потік крізь контур.
Середній: радіус і період заряду в полі, закон Фарадея для котушки, стрижень на рейках, паралельні дроти та напрямок сили або індукованого струму.
Складний: генератори, самоіндукція та запасена енергія, взаємна індуктивність, мас-спектрометри та селектори швидкості.
Для напрямків накресліть позначки поля й щоразу користуйтеся правою рукою; для величин спершу запишіть формулу й переведіть усі величини в одиниці СІ.
Довгий прямий провідник проводить 8 А. На якій відстані r від провідника магнітна індукція дорівнює 32 мкТл?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Знайти: r(cm)
Показати підказки
Виразіть r із B = μ₀I/(2πr).
r = μ₀I/(2πB).
Переведіть результат із метрів у сантиметри.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Магнітне поле струмів: навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола (правило правої руки), і B = μ₀I/(2πr). У центрі плоскої колової котушки з N витків B = μ₀NI/(2R). Усередині довгого соленоїда поле однорідне, B = μ₀nI, де n = N/L витків на метр, незалежно від радіуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Працюйте в одиницях СІ (метри й ампери) і додавайте поля кількох джерел як вектори.
Відстань за полем
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Відповідь
r = 5 cm
Приклад 2Середня
Котушка з 50 витків має площу 80 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,2 Тл до 1 Тл за 100 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Знайти: ε(V)
Показати підказки
Закон Фарадея: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 м² і Δt = 0,1 с.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Зміна потоку на виток
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
Середня ЕРС
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Відповідь
ε = 3,2 V
Приклад 3Складна
Дві котушки з індуктивностями 50 мГн і 50 мГн мають коефіцієнт зв’язку 0,3. Струм у першій котушці змінюється зі швидкістю 1000 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в другій котушці.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Знайти: ε(V)
Показати підказки
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
Переведіть M у генрі.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Взаємна індуктивність
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
Індукована ЕРС
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Відповідь
ε = 15 V
Запитання й відповіді
Магнітні поля та індукція: що це?
Кожен електричний струм оточений магнітним полем B, яке вимірюють у теслах (Тл). Поле Землі становить близько 50 мкТл; магніт на холодильнику — кілька мТл.
Навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола. Спрямуйте великий палець правої руки вздовж струму: пальці вигнуться в напрямку B (правило правої руки, або правило свердлика). На малюнках ⊗ означає поле в площину сторінки, а ⊙ — із неї.
Магнітні поля та індукція: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.
Магнітні поля та індукція: які помилки найпоширеніші?
Залишати довжини в см або площі в см².
Використовувати формулу провідника для витка чи соленоїда.
Брати кут до площини в Φ = BA·cos θ, тоді як потрібен кут до нормалі.
Забувати змінити напрямок сили для від’ємного заряду.
Плутати амплітудне й діюче значення генератора.
Магнітні поля та індукція: що ви тренуєте?
Легка: поля струмів і магнітні сили
Середня: заряджені частинки, Фарадей і Ленц
Складна: генератори, індуктивність і пучки частинок
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.