Пружини й маятники: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Пружини й маятники з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: вантаж на пружині, маятник, швидкість, прискорення й енергія.

Безкоштовна задачаЛегка
4,8 kgk = ?

Вантаж масою 4,8 kg на пружині коливається з періодом 2,5 s. Знайдіть жорсткість пружини k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Пружини й маятникиТренуйтеся зараз: Пружини й маятникиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкавантаж на пружині
  2. Середнямаятник
  3. Складнашвидкість, прискорення й енергія

Основні формули

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

Вивчайте тему «Пружини й маятники» з нуля

Перед цим: Закони Ньютона

1Що таке коливання

Відтягніть вантаж на пружині вбік і відпустіть. Він повертається повз середину, до іншого боку й знову назад. Дитина на гойдалці та гітарна струна роблять те саме.

Цей повторюваний рух — це коливання. Середня точка, де вантаж перебував би в спокої, — це положення рівноваги.

m0−A+Axk
  • Амплітуда A — це найбільша відстань від положення рівноваги, у m.
  • Період T — це час одного повного коливання, туди й назад, у s.
  • Частота f — це кількість коливань за секунду, у герцах (Hz).
f = 1 / T
Самоперевірка Вантаж на пружині робить 20 повних коливань за 10 s. Який період?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Відповідь: 0,5 s. T = час / кількість коливань = 10/20 = 0,5 s. 2 — це частота в Hz (20/10), кількість коливань за секунду.

2Гармонічні коливання

Пружина тягне назад із силою, пропорційною розтягу: F = −k·x. Жорсткість k вимірюється в N/m. Знак мінус означає, що сила завжди спрямована до положення рівноваги.

Така сила повернення дає прості гармонічні коливання (SHM). Положення змінюється в часі за косинусоїдою:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

Кутова частота ω (омега) у rad/s задає, як швидко рух повторюється. Один період дорівнює 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

Амплітуда не змінює періоду. Більший розмах охоплює більшу відстань, але й рухається швидше.

3Формули для пружини та маятника

Для вантажу на пружині важчий вантаж коливається повільніше, а жорсткіша пружина — швидше:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Для простого маятника довжиною L за малих розмахів маса не має жодного значення:

T = 2π · √(L / g)

Якщо пружина висить вертикально, вага розтягує її до нового положення рівноваги: k·x = m·g. Скористайтеся цим, щоб знайти k за виміряним розтягом.

Швидкість найбільша в положенні рівноваги й дорівнює нулю на краях. Прискорення найбільше на краях, де сила пружини найбільша:

vmax = A · ω amax = A · ω²

Повна енергія лишається незмінною: E = ½·k·A². У положенні x вона ділиться як ½·k·x² + ½·m·v².

Самоперевірка Ви замінюєте вантаж на пружині на вдвічі важчий. Що станеться з періодом?
  1. Вона подвоїться
  2. Він стане в 1,41 раза коротшим
  3. Він стане в √2 ≈ 1,41 раза довшим
  4. Він стане вчетверо довшим

Відповідь: Він стане в √2 ≈ 1,41 раза довшим. T = 2π·√(m/k), тож T зростає як квадратний корінь із m. Подвоєння m множить T на √2. Сказати, що він подвоюється, означає забути квадратний корінь.

4Метод крок за кроком

  1. Переведіть усе в одиниці SI: грами в kg, сантиметри в m.
  2. Визначте, яка це система: вантаж на пружині (використайте k і m) чи маятник (використайте L і g).
  3. Якщо задано період або кількість коливань, спершу знайдіть T: T = час / кількість.
  4. Знайдіть ω із системи: ω = √(k/m) або ω = 2π/T.
  5. Використайте формулу для того, що запитано: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² або енергію ½·k·A².
  6. Перевірте, чи відповідь розумна: період у частки секунди для жорсткої пружини, кілька секунд для довгого маятника.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вантаж 0,5 kg на пружині з k = 200 N/m відтягують на 5 cm від рівноваги й відпускають. Знайдіть період T, частоту f, максимальну швидкість vmax і максимальне прискорення amax.

1

Одиниці

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Кутова частота

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Період і частота

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

Найбільша швидкість

Вантаж найшвидший, коли проходить положення рівноваги.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

Найбільше прискорення

Прискорення найбільше на краях, де вантаж розвертається.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Перевірте відповідь

Перевірка енергії: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, і ½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Уся енергія пружини в положенні рівноваги стає кінетичною.

Відповідь

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmax = 1 m/s і amax = 20 m/s².

6Типові помилки

  • Використовувати амплітуду в cm замість m.
  • Перевертати дріб: T = 2π·√(m/k), а не √(k/m). Для маятника це √(L/g).
  • Забувати 2π або плутати ω (rad/s) і f (Hz).
  • Думати, що маса змінює період маятника або що амплітуда змінює будь-який період.
  • Плутати vmax = A·ω і amax = A·ω².
Самоперевірка Вантаж коливається з амплітудою 10 cm і ω = 10 rad/s. Яке його максимальне прискорення?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Відповідь: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². Використання A = 10 (cm) дає 1000. 1 m/s — це A·ω, максимальна швидкість, а не прискорення.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: вантаж на пружині. Знайдіть T, f або k, іноді за кількістю коливань або за тим, наскільки вантаж розтягує підвішену пружину.
  • Середньо: маятник. Знайдіть його період, довжину для заданого періоду або g на іншій планеті. Деякі запитання питають швидкість у певному положенні чи в заданий момент.
  • Складно: швидкість, прискорення й енергія: vmax, amax, кінетична енергія в певному положенні або амплітуда після влучання кулі в брусок на пружині.

Швидка перевірка для будь-якого маятника: маятник завдовжки 1 m на Землі має період близько 2 s.

Самоперевірка Довжина маятника 2,45 m. За g = 9,81 m/s² який його період за малих розмахів?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Відповідь: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. Перевернуте √(g/L) дає 12,6 s, забутий корінь дає 1,57 s, а забуте 2π дає 0,50 s.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
3,2 kgk = 210 N/m

Вантаж масою 3,2 kg на пружині жорсткістю 210 N/m коливається на гладкій горизонтальній поверхні. Знайдіть період T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Знайти: T (s)

Показати підказки
  1. Період пружинного маятника не залежить від амплітуди.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Відповідь

T = 0,7756 s
Приклад 2Середня
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 120 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 7 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 6 cm від положення рівноваги.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Знайти: v (m/s)

Показати підказки
  1. Енергія зберігається: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Отже, v = ω·√(A² − x²), де ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Відповідь

v = 0,3766 m/s
Приклад 3Складна
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 380 N/m відтягують на 11 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Знайти: amax (m/s²)

Показати підказки
  1. ω = √(k/m).
  2. Прискорення найбільше в крайніх точках: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Найбільше прискорення

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Відповідь

amax = 24,59 m/s²

Запитання й відповіді

Пружини й маятники: що це?

Відтягніть вантаж на пружині вбік і відпустіть. Він повертається повз середину, до іншого боку й знову назад. Дитина на гойдалці та гітарна струна роблять те саме.

Цей повторюваний рух — це коливання. Середня точка, де вантаж перебував би в спокої, — це положення рівноваги.

Пружини й маятники: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Пружини й маятники: які помилки найпоширеніші?
  • Не забудьте 2π: T = 2π·√(m/k) і f = 1/T.
  • Перевірте дріб під коренем: T = 2π·√(m/k), маса в чисельнику.
  • Це максимальна швидкість, у положенні рівноваги. У точці x швидкість менша: v = ω·√(A² − x²).
Пружини й маятники: що ви тренуєте?
  • Легка: вантаж на пружині
  • Середня: маятник
  • Складна: швидкість, прискорення й енергія

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Закони Ньютона

Далі

Механічні коливанняХвилі, звук і оптика

Калькулятори

Калькулятор періоду маятника й пружиниКалькулятор жорсткості пружини (закон Гука)

Курси з цією темою

ДинамікаФізика 1: МеханікаХвилі та оптикаТренувальні задачі AP Physics 1

Інші теми: Фізика

КінематикаЗакони НьютонаРух по колуІмпульс і зіткненняЗакон Кулона й електричне полеМагнітні поля та індукціяХвилі, звук і оптика

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Пружини й маятники» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Пружини й маятникиТренуйтеся зараз: Пружини й маятникиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.