Кінематика: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: рівноприскорений рух

Безкоштовні задачі з теми Кінематика з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: розгін, гальмування, вертикальний кидок.

Безкоштовна задачаЛегка
t (s)v (m/s)9 s6

Потяг рівносповільнено зменшує швидкість від 20 m/s до 6 m/s за 9 s. Який шлях він проходить за цей час? Знайдіть s.

v₀ = 20 m/sv = 6 m/st = 9 s
m
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: КінематикаТренуйтеся зараз: КінематикаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкарозгін
  2. Середнягальмування
  3. Складнавертикальний кидок

Як розв’язувати задачі на тему «Кінематика»

  1. Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
  2. Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
  3. Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
  4. Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Типові помилки

  • Забувають перевести km/h у m/s.
  • Пропускають ½ у s = v₀·t + ½·a·t².
  • Беруть додатне прискорення для гальмування.

Основні формули

Швидкість
v = v0 + a·t
Переміщення
s = v0·t + ½·a·t²
Без часу
v² = v0² + 2·a·s
Одиниці
1 m/s = 3,6 km/h

Вивчайте тему «Кінематика» з нуля

1Що таке кінематика

Кінематика описує, як рухаються тіла: як швидко, як далеко і як довго. Вона не питає, чому вони рухаються. Це справа сил і законів Ньютона.

У цій темі прискорення стале. Так рухаються автомобіль, що рівномірно розганяється, потяг, що гальмує рівномірно, і камінь, що вільно падає.

Прискорення — це зміна швидкості за секунду. Якщо автомобіль за одну секунду розганяється з 10 m/s до 13 m/s, його прискорення дорівнює 3 m/s² (метрів за секунду, за секунду).

a = (v − v₀) / t

Від’ємне прискорення означає, що тіло сповільнюється в додатному напрямку. Гальмування — це від’ємне прискорення.

Самоперевірка Автомобіль розганяється з 10 m/s до 16 m/s за 3 s рівномірно. Яке його прискорення?
  1. 18 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 3,3 m/s²
  4. 5,3 m/s²

Відповідь: 2 m/s². a = (v − v₀)/t = (16 − 10)/3 = 2 m/s². Ділення самої лише кінцевої швидкості (16/3 = 5,3) забуває, що автомобіль уже рухався зі швидкістю 10 m/s.

2П’ять величин

Кожне запитання цієї теми використовує деякі з тих самих п’яти величин. Спершу вивчіть їхні символи й одиниці.

  • v₀: початкова швидкість, у m/s. «Зі стану спокою» означає v₀ = 0.
  • v: кінцева швидкість, у m/s. «Доки не зупиниться» означає v = 0.
  • a: прискорення, у m/s². Стале протягом усього руху.
  • t: час, у s.
  • s: переміщення (відстань, пройдена в додатному напрямку), у m.

Швидкості часто задають у km/h. Перетворіть їх у m/s перед обчисленням:

1 m/s = 3,6 km/h v (m/s) = v (km/h) / 3,6

Оберіть один додатний напрямок, зазвичай напрямок руху. Величина, що спрямована в протилежний бік, дістає знак мінус. Для м’яча, підкинутого вгору, коли вгору — додатний напрямок, гравітація дає a = −9,81 m/s².

Самоперевірка Автомобіль їде зі швидкістю 54 km/h. Яка його швидкість у m/s?
  1. 15 m/s
  2. 194,4 m/s
  3. 5,4 m/s
  4. 54 m/s

Відповідь: 15 m/s. Поділіть на 3,6: 54/3,6 = 15 m/s. Множення на 3,6 (194,4) іде не в той бік: швидкість у m/s завжди менше число, ніж та сама швидкість у km/h.

3Три рівняння

За сталого прискорення три рівняння пов’язують п’ять величин:

v = v₀ + a·t
s = v₀·t + ½·a·t²
v² = v₀² + 2·a·s

Кожне рівняння не містить однієї величини. Перше не має s, друге не має v, а третє не має t. Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й ту, яку шукаєте.

Графік швидкість–час показує, чому рівняння працюють. За сталого прискорення графік — пряма лінія, а площа під лінією — це відстань.

t (s)v (m/s)sav0​vt

Площа цієї фігури дорівнює середній швидкості, помноженій на час: s = ½·(v₀ + v)·t. Ця четверта форма зручна, коли a не задано.

Самоперевірка Ви знаєте v₀, a і s і хочете знайти v. Часу не задано. Яке рівняння ви використаєте?
  1. a = (v − v₀)/t
  2. s = v₀·t + ½·a·t²
  3. v = v₀ + a·t
  4. v² = v₀² + 2·a·s

Відповідь: v² = v₀² + 2·a·s. Лише v² = v₀² + 2·a·s містить v₀, a, s і v без t. Усі інші рівняння потребують часу, якого ви не маєте.

4Метод крок за кроком

  1. Швидко зробіть ескіз і оберіть додатний напрямок.
  2. Випишіть v₀, v, a, t і s. Запишіть значення кожної відомої величини з її знаком і позначте невідому.
  3. Перетворіть km/h у m/s, а хвилини в секунди.
  4. Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
  5. Перетворіть вираз, підставте числа й розв’яжіть.
  6. Перевірте, чи відповідь має сенс: автомобіль, що гальмує, не їде назад, а час ніколи не буває від’ємним.

Коли рух має кілька фаз, розв’язуйте їх одну за одною. Кінцева швидкість однієї фази є початковою швидкістю наступної.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s², доки не зупиниться. Скільки часу триває гальмування і який гальмівний шлях?

1

Перетворіть швидкість

v₀ = 72 / 3,6 = 20 m/s
2

Випишіть величини

Візьміть напрямок руху за додатний. Автомобіль сповільнюється, тож прискорення від’ємне.

v₀ = 20 m/s v = 0 a = −5 m/s²

Невідомі — t і s.

3

Знайдіть час гальмування

Використайте v = v₀ + a·t, яке не містить s.

0 = 20 + (−5)·t ⇒ t = 20 / 5 = 4 s
4

Знайдіть гальмівний шлях

Використайте v² = v₀² + 2·a·s, яке не містить t, тож помилка в часі не перейде далі.

0 = 20² + 2·(−5)·s ⇒ s = 400 / 10 = 40 m
5

Перевірте відповідь

t (s)v (m/s)1234102040 m

Площа трикутника дорівнює ½ · 4 s · 20 m/s = 40 m. Середня швидкість 10 m/s протягом 4 s, що також дає 40 m.

Відповідь

Гальмування триває t = 4 s, а гальмівний шлях дорівнює s = 40 m.

6Типові помилки

  • Рахувати в km/h замість m/s. Спершу поділіть на 3,6.
  • Пропускають ½ у s = v₀·t + ½·a·t².
  • Використовувати додатне прискорення для гальмування. Якщо рух додатний, гальмування від’ємне.
  • Забувати знак мінус біля g для тіла, підкинутого вгору, коли вгору — додатний напрямок.
  • Плутати v₀ і v: «зі стану спокою» дає v₀ = 0, «зупиняється» дає v = 0.
Самоперевірка Візок рушає зі стану спокою і розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 3 s. Яку відстань він проходить?
  1. 18 m
  2. 3 m
  3. 6 m
  4. 9 m

Відповідь: 9 m. s = v₀·t + ½·a·t² = 0 + ½ · 2 · 3² = 9 m. Якщо пропустити ½, вийде 18 m. 6 m — це кінцева швидкість a·t у m/s, а не відстань.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: розгін або сповільнення. Знайти a, v або s за одним рівнянням, наприклад автомобіль, що розганяється задану тривалість, або камінь, скинутий з моста.
  • Середній: гальмування та старт. Швидкості в km/h, час і шлях гальмування, час реакції перед гальмуванням або поліцейський автомобіль, що наздоганяє.
  • Складний: вертикальні кидки та рух за фазами. М’яч, підкинутий з даху, два м’ячі, що зустрічаються, ракета або поїздка з розгоном, рухом зі сталою швидкістю й гальмуванням.

Для вертикального руху вважайте вгору додатним напрямком і використовуйте a = −9,81 m/s² протягом усього польоту. У найвищій точці швидкість на мить дорівнює 0.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
t (s)v (m/s)20 s10

Потяг рівносповільнено зменшує швидкість від 15 m/s до 10 m/s за 20 s. Який шлях він проходить за цей час? Знайдіть s.

v₀ = 15 m/sv = 10 m/st = 20 s

Знайти: s (m)

Показати підказки
  1. За сталого прискорення середня швидкість дорівнює середньому арифметичному початкової й кінцевої швидкостей.
  2. s = (v₀ + v)/2 · t. Це площа під графіком v–t.
  3. середня швидкість = 12,5 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Середня швидкість

(v₀ + v)/2 = (15 + 10)/2 = 12,5 m/s

Шлях

s = 12,5·20 = 250 m

Відповідь

s = 250 m
Приклад 2Середня
a = ?s = 1000 m

Для зльоту літаку потрібна швидкість 250 km/h, а довжина злітної смуги 1000 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1000 m

Знайти: a (m/s²)

Показати підказки
  1. Переведіть швидкість у m/s: поділіть km/h на 3,6.
  2. v² = v₀² + 2·a·s, де v₀ = 0, тож a = v²/(2s).
  3. v = 69,44 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1000) = 2,411 m/s²

Відповідь

a = 2,411 m/s²
Приклад 3Складна
a = 22 m/s²

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 22 m/s² протягом 2 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту hmax, якої досягає ракета.

a = 22 m/s²t1 = 2 sg = 9,81 m/s²

Знайти: hmax (m)

Показати підказки
  1. Розділіть політ: активна ділянка з прискоренням a, потім вільний політ з прискоренням −g.
  2. У момент вимкнення двигуна: v₁ = a·t₁ і h₁ = ½·a·t₁².
  3. v₁ = 44 m/s, h₁ = 44 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активна ділянка

v₁ = 22·2 = 44 m/s
h₁ = ½·22·2² = 44 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 44²/(2·9,81) = 98,67 m
hmax = 44 + 98,67 = 142,7 m

Відповідь

hmax = 142,7 m

Запитання й відповіді

Кінематика: що це?

Кінематика описує, як рухаються тіла: як швидко, як далеко і як довго. Вона не питає, чому вони рухаються. Це справа сил і законів Ньютона.

У цій темі прискорення стале. Так рухаються автомобіль, що рівномірно розганяється, потяг, що гальмує рівномірно, і камінь, що вільно падає.

Кінематика: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
  2. Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
  3. Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
  4. Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.
Кінематика: які помилки найпоширеніші?
  • Забувають перевести km/h у m/s.
  • Пропускають ½ у s = v₀·t + ½·a·t².
  • Беруть додатне прискорення для гальмування.
Кінематика: що ви тренуєте?
  • Легка: розгін
  • Середня: гальмування
  • Складна: вертикальний кидок

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Закони НьютонаРух тіла, кинутого під кутом

Калькулятори

Калькулятор кінематики (SUVAT)Калькулятор вільного падіння (час, висота й швидкість удару)Калькулятор прискорення (та середньої швидкості)

Курси з цією темою

ДинамікаФізика для інженерівФізика 1: МеханікаТренувальні задачі AP Physics 1

Інші теми: Фізика

Закони НьютонаРух по колуІмпульс і зіткненняПружини й маятникиЗакон Кулона й електричне полеМагнітні поля та індукціяХвилі, звук і оптика

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Кінематика» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: КінематикаТренуйтеся зараз: КінематикаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.