Імпульс і зіткнення: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: закон збереження імпульсу · пружний удар · непружний удар

Безкоштовні задачі з теми Імпульс і зіткнення з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: абсолютно непружний удар, пружний удар, імпульс сили й сила.

Безкоштовна задачаЛегка
4,5 kg750 m/sV = ?

Гвинтівка масою 4,5 kg, що може вільно рухатися, вистрілює кулю масою 12 g зі швидкістю 750 m/s. Обидві спочатку нерухомі. Знайдіть швидкість віддачі V гвинтівки.

M = 4,5 kgm = 12 gv = 750 m/s
m/s
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Імпульс і зіткненняТренуйтеся зараз: Імпульс і зіткненняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаабсолютно непружний удар
  2. Середняпружний удар
  3. Складнаімпульс сили й сила

Як розв’язувати задачі на тему «Імпульс і зіткнення»

  1. Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
  2. Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
  3. При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
  4. Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Типові помилки

  • Забувають знак мінус швидкості, напрямленої протилежно.
  • Усереднюють швидкості замість зважування їх за масою.
  • Вважають, що кінетична енергія зберігається при непружному зіткненні.

Основні формули

Імпульс
p = m·v
Збереження
Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
Імпульс сили
J = F·Δt = m·Δv

Вивчайте тему «Імпульс і зіткнення» з нуля

Перед цим: Закони Ньютона

1Що таке імпульс

Вантажівку зі швидкістю 10 km/h зупинити важче, ніж велосипед за такої самої швидкості. Куля крихітна, але її дуже важко зупинити, бо вона дуже швидка. Імпульс поєднує обидва чинники: масу й швидкість.

p = m · v

Імпульс p вимірюється в kg·m/s. Він має напрямок, такий самий, як швидкість. Оберіть додатний напрямок: тіло, що рухається в інший бік, має від’ємну швидкість і від’ємний імпульс.

Імпульс важливий, бо він зберігається при зіткненнях і вибухах. Загальний імпульс до дорівнює загальному після, що б не відбувалося під час зіткнення.

Самоперевірка Який імпульс м’яча масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s?
  1. 1,5 kg·m/s
  2. 18 kg·m/s
  3. 6 kg·m/s
  4. 9 kg·m/s

Відповідь: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s. 9 — це ½·m·v², кінетична енергія в джоулях, яка є іншою величиною.

2Закон збереження імпульсу

Коли два тіла зіштовхуються, вони тиснуть одне на одне рівними й протилежними силами (третій закон Ньютона) протягом того самого короткого часу. Що одне здобуває в імпульсі, те інше втрачає.

Тож якщо під час зіткнення не діє зовнішня сила, повний імпульс залишається незмінним:

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

Штрих (′) позначає швидкість після зіткнення. Тертя об дорогу під час короткого зіткнення мале, тож його можна ігнорувати.

Зіткнення бувають двох видів:

  • Абсолютно непружне: тіла злипаються й рухаються з однією спільною швидкістю v′. Кінетична енергія втрачається на тепло, звук і вм’ятини.
  • Пружне: тіла відскакують одне від одного, і кінетична енергія ½·m·v² також зберігається.

Для абсолютно непружного зіткнення спільна швидкість випливає безпосередньо:

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

Вибух або постріл із рушниці — та сама ідея навпаки: повний імпульс до дорівнює нулю, тож він нуль і після.

Самоперевірка Візок масою 2 kg зі швидкістю 6 m/s вдаряється об візок масою 1 kg у спокої. Вони злипаються. Яка їхня спільна швидкість?
  1. 12 m/s
  2. 2 m/s
  3. 3 m/s
  4. 4 m/s

Відповідь: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s. Усереднення швидкостей (3 m/s) ігнорує те, що важчий візок має більший імпульс.

3Імпульс сили

Сила, що діє протягом часу Δt, змінює імпульс тіла. Добуток F·Δt називають імпульсом сили J, у N·s (те саме, що kg·m/s).

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

Така сама зміна імпульсу за довший час потребує меншої сили. Ось чому подушки безпеки й зони деформації рятують життя.

Для м’яча, що відскакує назад, швидкість змінює знак. Якщо напрямок падіння додатний, м’яч, що вдаряється об стіну зі швидкістю 10 m/s і повертається зі швидкістю 5 m/s, має Δv = −5 − 10 = −15 m/s.

4Метод крок за кроком

  1. Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
  2. Запишіть повний імпульс до: m₁·v₁ + m₂·v₂.
  3. Вирішіть, що відбувається після: одна спільна швидкість (злипаються), дві швидкості (відскакують) або кілька частин (вибух).
  4. Прирівняйте імпульс до й імпульс після та розв’яжіть щодо невідомого.
  5. Якщо питають про енергію, порівняйте ½·m·v² до й після.
  6. Перевірте знак відповіді: від’ємна швидкість означає рух у від’ємному напрямку.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Автомобіль масою 1000 kg зі швидкістю 20 m/s лоб у лоб зіштовхується з автомобілем масою 1500 kg зі швидкістю 10 m/s у протилежному напрямку. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть їхню спільну швидкість v′ одразу після зіткнення, додатну в напрямку першого автомобіля.

1

Знаки

+m1​1000 kg20 m/sm2​1500 kg10 m/s

Візьміть напрямок першого автомобіля за додатний. Тоді v₁ = +20 m/s, а v₂ = −10 m/s.

2

Імпульс до удару

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s
3

Імпульс після удару

Автомобілі рухаються як одне тіло масою 2500 kg зі швидкістю v′.

p′ = 2500 · v′
4

Розв’яжіть

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s
+m1​ + m2​2500 kgv′ = 2 m/s
5

Перевірте відповідь

v′ додатна, тож уламки рухаються в напрямку першого автомобіля. Це логічно: перший автомобіль мав більший імпульс (20 000 проти 15 000 kg·m/s). Кінетична енергія падає з 275 000 J до 5000 J, як і слід чекати, коли автомобілі зчіплюються.

Відповідь

v′ = +2 m/s, у напрямку, в якому рухався перший автомобіль.

6Типові помилки

  • Забувають знак мінус швидкості, напрямленої протилежно.
  • Усереднювати швидкості замість зважувати їх за масою.
  • Вважати, що кінетична енергія зберігається, коли тіла злипаються. Зберігається лише імпульс.
  • Для відскоку використовувати різницю швидкостей замість зміни швидкості: м’яч розвертається, тож швидкості додаються.
  • Плутати грами й кілограми для кулі: 12 g — це 0,012 kg.
Самоперевірка М’яч масою 0,2 kg вдаряється об стіну зі швидкістю 10 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 0,01 s. Яка середня сила стіни?
  1. 100 N
  2. 200 N
  3. 3 N
  4. 300 N

Відповідь: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s, тож F = m·|Δv|/Δt = 0,2 · 15/0,01 = 300 N. Використання 10 − 5 = 5 m/s (100 N) забуває, що м’яч розвертається. 3 N — це імпульс сили в N·s, не поділений на час.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: абсолютно непружні зіткнення: два автомобілі, що зчіплюються, візок, що вдаряється об інший, або гвинтівка, що віддає назад.
  • Середній: пружні зіткнення візків на доріжці, кінетична енергія, втрачена при злипанні тіл, вибухи та куля, випущена у підвішений блок.
  • Складний: імпульс сили й сила: м’яч, що відскакує від стіни, автомобілі, що зіштовхуються на перехресті (імпульс у двох напрямках), або уламки, що юзом зупиняються.

Для пружного зіткнення, коли друге тіло в спокої: v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁ і v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
0,5 kg7,5 m/s5 kg

Візок масою 0,5 kg, що рухається зі швидкістю 7,5 m/s, налітає на нерухомий візок масою 5 kg. Після зіткнення перший візок продовжує рух у тому самому напрямку зі швидкістю 0,5 m/s. Знайдіть швидкість v′2 другого візка.

m1 = 0,5 kgv1 = 7,5 m/sm2 = 5 kgv′1 = 0,5 m/s

Знайти: v′2 (m/s)

Показати підказки
  1. Повний імпульс до = повний імпульс після.
  2. m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂.
  3. переданий імпульс = 3,5 kg·m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Баланс імпульсу

0,5·7,5 = 0,5·0,5 + 5·v′2
v′2 = 3,5/5 = 0,7 m/s

Відповідь

v′2 = 0,7 m/s
Приклад 2Середня
1400 kg10 m/s1500 kg

Автомобіль масою 1400 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m1 = 1400 kgv1 = 10 m/sm2 = 1500 kgv2 = 0

Знайти: ΔK (J)

Показати підказки
  1. Спочатку знайдіть спільну швидкість із закону збереження імпульсу.
  2. Потім порівняйте ½·m·v² до й після.
  3. v′ = 4,828 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1400·10/2900 = 4,828 m/s

Кінетична енергія до й після

Kbefore = ½·1400·10² = 70000 J
Kafter = ½·2900·4,828² = 33793 J

Втрачена енергія

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

Відповідь

ΔK = 36207 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

Приклад 3Складна
5 kgv = ?20 g25°L = 0,7 m

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,7 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 5 kgL = 0,7 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

Знайти: v (m/s)

Показати підказки
  1. Набута висота: h = L·(1 − cos θ).
  2. Відхилення: V = √(2gh). Удар: m·v = (m + M)·V.
  3. h = 0,06558 m, V = 1,134 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 25°) = 0,06558 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,06558) = 1,134 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 5,02·1,134/0,02 = 284,7 m/s

Відповідь

v = 284,7 m/s

Запитання й відповіді

Імпульс і зіткнення: що це?

Вантажівку зі швидкістю 10 km/h зупинити важче, ніж велосипед за такої самої швидкості. Куля крихітна, але її дуже важко зупинити, бо вона дуже швидка. Імпульс поєднує обидва чинники: масу й швидкість.

Імпульс p вимірюється в kg·m/s. Він має напрямок, такий самий, як швидкість. Оберіть додатний напрямок: тіло, що рухається в інший бік, має від’ємну швидкість і від’ємний імпульс.

Імпульс і зіткнення: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
  2. Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
  3. При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
  4. Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.
Імпульс і зіткнення: які помилки найпоширеніші?
  • Забувають знак мінус швидкості, напрямленої протилежно.
  • Усереднюють швидкості замість зважування їх за масою.
  • Вважають, що кінетична енергія зберігається при непружному зіткненні.
Імпульс і зіткнення: що ви тренуєте?
  • Легка: абсолютно непружний удар
  • Середня: пружний удар
  • Складна: імпульс сили й сила

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Закони Ньютона

Калькулятори

Калькулятор зіткнень та імпульсу

Курси з цією темою

ДинамікаФізика для інженерівФізика 1: МеханікаТренувальні задачі AP Physics 1

Інші теми: Фізика

КінематикаЗакони НьютонаРух по колуПружини й маятникиЗакон Кулона й електричне полеМагнітні поля та індукціяХвилі, звук і оптика

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Імпульс і зіткнення» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Імпульс і зіткненняТренуйтеся зараз: Імпульс і зіткненняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.