Хвилі, звук і оптика: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Хвилі, звук і оптика з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: швидкість хвилі, рівень звуку та заломлення, стоячі хвилі, лінзи та ефект Доплера, інтерференція, ґратки, дзеркала та волокна.

Безкоштовна задачаЛегка
λ = ?

Світло з довжиною хвилі 650 нм у вакуумі входить у середовище «вода» (n = 1,33). Знайдіть його довжину хвилі λ всередині матеріалу.

n = 1,33λ0 = 650 nm
nm
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Хвилі, звук і оптикаТренуйтеся зараз: Хвилі, звук і оптикаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкашвидкість хвилі, рівень звуку та заломлення
  2. Середнястоячі хвилі, лінзи та ефект Доплера
  3. Складнаінтерференція, ґратки, дзеркала та волокна

Як розв’язувати задачі на тему «Хвилі, звук і оптика»

  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

Типові помилки

  • Відлік кутів від поверхні замість нормалі.
  • Використання 20·log для інтенсивностей або безпосереднє додавання децибелів.
  • Підстановка швидкості джерела в чисельник формули Доплера.
  • Відкидання правила знаків для розсіювальних лінз і опуклих дзеркал.
  • Округлення найвищого порядку ґратки до найближчого цілого замість округлення вниз.

Основні формули

Швидкість хвилі
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело
I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі
струна або відкрита труба fn = n·v/(2L); закрита труба fn = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показник заломлення
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеліуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критичний кут
sin θc = n2/n1
Оптичне волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Лінзи та дзеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Подвійна щілина
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Ґратка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одна щілина
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Вивчайте тему «Хвилі, звук і оптика» з нуля

Перед цим: Пружини й маятники

1Що таке хвиля

Хвиля переносить енергію з місця на місце, не переносячи речовини: середовище лише коливається. На струні чи воді рух поперечний (упоперек напрямку поширення); звук у повітрі поздовжній (уздовж нього).

λAv = fλ

Довжина хвилі λ — це довжина одного повного циклу, період T — час одного циклу, а частота f = 1/T. За один період хвиля проходить одну довжину хвилі, тож:

v = fλ струна: v = √(T/μ), μ = m/L

Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с, світло — c = 3,00 × 10⁸ м/с. Швидкість залежить від середовища, а не від частоти.

Самоперевірка Звук частотою 686 Гц поширюється зі швидкістю 343 м/с. Яка його довжина хвилі?
  1. 0,002 м
  2. 0,5 m
  3. 2 m
  4. 235 000 м

Відповідь: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 м. Ділення навпаки дає 2 м, а множення — величезне число.

2Рівень звуку та ефект Доплера

Наші вуха реагують на інтенсивність I (Вт/м²) за логарифмічною шкалою, тому гучність вимірюють у децибелах:

β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²

Десятикратна інтенсивність додає 10 дБ; два однакові джерела додають приблизно 3 дБ. Мале джерело розподіляє потужність по сфері, I = P/(4πr²), тож подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

Коли джерело й слухач наближаються один до одного, висота тону зростає; коли віддаляються — спадає (ефект Доплера):

f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)

Для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Швидкість слухача стоїть у чисельнику, швидкість джерела — у знаменнику.

3Стоячі хвилі

Хвилі, відбиті з обох кінців струни, інтерферують у стоячу хвилю. Струна, закріплена з обох кінців, має вузли на кінцях, і в ній вкладається ціле число півхвиль:

n = 1n = 2n = 3
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …

Труба, відкрита з обох кінців, підпорядковується тому самому правилу. Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому, тож вкладаються лише непарні гармоніки: fₙ = n·v/(4L), де n = 1, 3, 5, …

Самоперевірка Труба, закрита з одного кінця, має основну частоту 100 Гц. Які ще з цих частот вона може видавати?
  1. 150 Гц
  2. 200 Гц
  3. 300 Гц
  4. 50 Гц

Відповідь: 300 Гц. Закрита труба має лише непарні гармоніки: 100, 300, 500 Гц, … Для 200 Гц потрібне n = 2, яке закрита труба вмістити не може.

4Заломлення та лінзи

Світло сповільнюється у склі чи воді в n = c/v разів (показник заломлення). На межі промінь змінює напрямок (закон Снеліуса), а кути відлічують від нормалі:

θ₁θ₂n₁n₂ > n₁
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ граничний кут: sin θc = n₂/n₁

Під час переходу з оптично густішого середовища в менш густе за кутом, більшим за θc, усе світло відбивається (повне внутрішнє відбиття). Так оптичні волокна проводять світло.

FFd₀dᵢ

Тонкі лінзи й сферичні дзеркала підпорядковуються одному рівнянню, із збільшенням m = −dᵢ/d₀:

1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ

Знаки: f > 0 для збірної лінзи та увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала. Додатне dᵢ — дійсне зображення, від’ємне dᵢ — уявне; m < 0 означає, що зображення перевернуте.

5Інтерференція та дифракція

Світло від двох вузьких щілин на відстані d одна від одної накладається на екрані на відстані L. Там, де різниця ходу d·sin θ дорівнює цілому числу довжин хвиль, хвилі підсилюють одна одну: світлі смуги.

d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d

Дифракційна ґратка має багато щілин: N ліній на мм означає d = 1/N мм. Її максимуми різкі й далеко один від одного, а найвищий порядок — найбільше ціле m, для якого m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, тож її центральний максимум має ширину 2λL/a.

6Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Предмет стоїть на відстані 30 см перед збірною лінзою з f = 10 см. Знайдіть відстань до зображення та збільшення.

1

Рівняння лінзи

1/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30

Отже, dᵢ = 15 см.

2

Природа зображення

dᵢ додатне, тож зображення дійсне: воно утворюється з іншого боку лінзи й може бути спіймане на екрані.

3

Збільшення

m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5

Зображення перевернуте й удвічі менше за предмет.

4

Перевірте за ескізом

Промінь, паралельний осі, заломлюється крізь F з іншого боку; промінь через центр іде прямо. Вони перетинаються на 15 см за лінзою, під віссю.

Відповідь

dᵢ = 15 см і m = −0,5: дійсне, перевернуте зображення вдвічі меншого розміру.

Самоперевірка Предмет розташований на 5 см перед збірною лінзою з f = 10 см. Яке зображення утворюється?
  1. Дійсне й перевернуте, з іншого боку
  2. Дійсне й пряме, з того самого боку
  3. Зображення немає: промені виходять паралельно
  4. Уявне й пряме, з того самого боку, що й предмет

Відповідь: Уявне й пряме, з того самого боку, що й предмет. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, тож dᵢ = −10 см: від’ємна відстань до зображення означає уявне зображення, а m = +2 — пряме й збільшене. Так працює лупа.

7Типові помилки та екзаменаційні запитання

  • Відлічувати кути від поверхні замість нормалі.
  • Використовувати 10·log для амплітуд або 20·log для інтенсивностей: для інтенсивностей беруть 10·log.
  • Давати закритій трубі парні гармоніки.
  • Губити мінус в уявного зображення чи розсіювальної лінзи.
  • Забувати перевести нм, мм і см у метри в задачах на інтерференцію.
  • Легкий: v = fλ, хвилі на струнах, рівні звуку, закон Снеліуса та швидкість світла в матеріалі.
  • Середній: стоячі хвилі на струнах і в трубах, критичний кут, тонкі лінзи, ефект Доплера та закон обернених квадратів.
  • Складний: подвійні щілини, ґратки, одна щілина, дзеркала, системи з двох лінз, відлуння від рухомих об’єктів і оптичні волокна.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
λ = 0,343 mv = ?f = 1 kHz

Звукова хвиля в повітрі має частоту 1 kHz і довжину хвилі 0,343 m. Знайдіть її швидкість v.

f = 1 kHzλ = 0,343 m

Знайти: v (m/s)

Показати підказки
  1. Хвиля проходить одну довжину хвилі за один період T = 1/f.
  2. v = fλ.
  3. f = 1000 Гц.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Швидкість хвилі

v = fλ = 1000·0,343 = 343 m/s

Відповідь

v = 343 m/s
Приклад 2Середня
L = ?n = 3

Труба, відкрита з обох кінців: гармоніка номер 3 має становити 686 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 3f3 = 686 Hz

Знайти: L (m)

Показати підказки
  1. f = n·v/(2L).
  2. Виразіть L.
  3. λ = v/f = 0,5 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/686 = 0,5 m

Довжина

L = nλ/2 = 3·0,5/2 = 0,75 m

Відповідь

L = 0,75 m
Приклад 3Складна
θa​ = ?n1​ = 1,52n2​ = 1,49n0​ = 1,00

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,52 і оболонку з n₂ = 1,49. Знайдіть найбільший кут θa до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n1 = 1,52n2 = 1,49n0 = 1,00

Знайти: θa (°)

Показати підказки
  1. Усередині осердя промінь має падати на оболонку принаймні під критичним кутом: sin θc = n₂/n₁.
  2. На вхідній грані sin θa = n₁·cos θc = √(n₁² − n₂²) = NA.
  3. n₁² − n₂² = 0,0903.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,49/1,52 = 0,9803 → θc = 78,6°

Числова апертура

NA = √(1,52² − 1,49²) = 0,3005

Кут прийому

θa = arcsin(0,3005) = 17,49°

Відповідь

θa = 17,49°

Запитання й відповіді

Хвилі, звук і оптика: що це?

Хвиля переносить енергію з місця на місце, не переносячи речовини: середовище лише коливається. На струні чи воді рух поперечний (упоперек напрямку поширення); звук у повітрі поздовжній (уздовж нього).

Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с, світло — c = 3,00 × 10⁸ м/с. Швидкість залежить від середовища, а не від частоти.

Хвилі, звук і оптика: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
  2. Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
  4. Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.
Хвилі, звук і оптика: які помилки найпоширеніші?
  • Відлік кутів від поверхні замість нормалі.
  • Використання 20·log для інтенсивностей або безпосереднє додавання децибелів.
  • Підстановка швидкості джерела в чисельник формули Доплера.
  • Відкидання правила знаків для розсіювальних лінз і опуклих дзеркал.
  • Округлення найвищого порядку ґратки до найближчого цілого замість округлення вниз.
Хвилі, звук і оптика: що ви тренуєте?
  • Легка: швидкість хвилі, рівень звуку та заломлення
  • Середня: стоячі хвилі, лінзи та ефект Доплера
  • Складна: інтерференція, ґратки, дзеркала та волокна

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Пружини й маятники

Курси з цією темою

Фізика для інженерівФізика 1: МеханікаХвилі та оптика

Інші теми: Фізика

КінематикаЗакони НьютонаРух по колуІмпульс і зіткненняПружини й маятникиЗакон Кулона й електричне полеМагнітні поля та індукція

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Хвилі, звук і оптика» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Хвилі, звук і оптикаТренуйтеся зараз: Хвилі, звук і оптикаБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.