Рух тіла, кинутого під кутом: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: рух під кутом до горизонту · тіло, кинуте під кутом до горизонту
Безкоштовні задачі з теми Рух тіла, кинутого під кутом з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: горизонтальний кидок, кидок із землі, кидок із висоти.
Безкоштовна задачаЛегка
Камінь кидають горизонтально з верху стіни заввишки 20 m, і він падає на відстані 22 m від її підніжжя. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v0.
Снаряд — це тіло, що летить повітрям, коли на нього діє лише гравітація. Копнутий м’яч, камінь, кинутий з мосту, і вода зі шланга — усе це снаряди.
У цій темі ви ігноруєте опір повітря. Тоді траєкторія — завжди гладка крива, яку називають параболою.
Ключова ідея: рух розкладається на дві окремі частини. Убік ніщо не штовхає й не сповільнює тіло. Вгору і вниз гравітація тягне його з g = 9,81 m/s².
Тож горизонтальна швидкість залишається однаковою весь час, а вертикальна змінюється щосекунди. Ці дві частини мають спільну лише одну річ: час.
Самоперевірка М’яч летить повітрям без опору повітря. Яка величина залишається сталою протягом польоту?
Вертикальна швидкість
Висота
Горизонтальна швидкість
Повна швидкість
Відповідь: Горизонтальна швидкість. Убік жодна сила не діє, тож горизонтальна швидкість ніколи не змінюється. Гравітація змінює вертикальну швидкість, а разом із нею повну швидкість і висоту.
2Два рухи, один годинник
Помістіть початок координат у точку запуску, x горизонтально, y вертикально (вгору — додатний напрямок). Через час t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Тут h — висота запуску над землею, vx — горизонтальна швидкість, а vy — початкова вертикальна швидкість.
М’яч вдаряється об землю, коли y = 0. Ви розв’язуєте вертикальне рівняння для цього часу, а потім підставляєте той самий час у горизонтальне рівняння.
Для горизонтального запускуvy = 0. Вертикальне рівняння стає h = ½ · g · t², тож час падіння дорівнює:
t = √(2h / g)
Цей час падіння взагалі не залежить від горизонтальної швидкості.
Самоперевірка З того самого столу м’яч A скочується з краю зі швидкістю 1 m/s, а м’яч B — 3 m/s. Який приземлиться першим?
Вони приземляться одночасно
Залежить від їхніх мас
М’яч A
М’яч B
Відповідь: Вони приземляться одночасно. Обидва починають із нульовою вертикальною швидкістю й падають на ту саму висоту, тож t = √(2h/g) однаковий. М’яч B лише приземляється далі.
3Запуск під кутом
Коли м’яч запускають зі швидкістю v0 під кутом θ над горизонталлю, спершу розкладіть швидкість на дві частини, складові:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
З рівної землі м’яч піднімається, доки його вертикальна швидкість не стане нульовою, а потім падає назад. Підйом і падіння тривають однаково. Це дає три корисні результати:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
Формула дальності для R справедлива лише тоді, коли м’яч приземляється на тій самій висоті, з якої був запущений.
Самоперевірка М’яч запускають зі швидкістю 20 m/s під кутом 30° над горизонталлю. Які його складові швидкості?
vx = 10 m/s і vy = 10 m/s
vx = 10 m/s і vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s і vy = 10 m/s
vx = 20 m/s і vy = 20 m/s
Відповідь: vx = 17,3 m/s і vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s і vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Заміна місцями використовує sin для горизонтальної частини, що є класичною плутаниною.
4Метод крок за кроком
Намалюйте траєкторію. Позначте висоту запуску h, швидкість запуску v0, кут θ і те, що треба знайти.
Розкладіть швидкість запуску на складові: vx = v0 · cos θ і vy = v0 · sin θ. Горизонтальний запуск має vy = 0.
Використайте вертикальний рух, щоб знайти час польоту: покладіть y = 0 у y = h + vy·t − ½·g·t² і розв’яжіть щодо t.
Використайте цей час у горизонтальному русі: x = vx · t.
Для швидкості в будь-який момент поєднайте складові: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Перевірте, що ваш калькулятор налаштований на градуси, перш ніж брати sin або cos кута, заданого в градусах.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
М’яч кидають горизонтально зі швидкістю 12 m/s з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й використайте g = 9,81 m/s². На якій відстані від підніжжя скелі він приземляється?
1
Намалюйте ситуацію
Запуск горизонтальний, тож vx = 12 m/s і vy = 0. М’яч має впасти на h = 45 m.
2
Знайдіть час польоту
Вертикальний рух — це падіння зі стану спокою на 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Використайте час для руху вбік
Протягом цих 3,03 s м’яч продовжує рухатися вбік зі швидкістю 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Перевірте відповідь
Підставте час назад у вертикальний рух: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. Це точно висота скелі, тож час правильний.
Відстань близько 36 m для кидка 12 m/s протягом 3 s також має розумний розмір.
5
Далі: швидкість удару
Безпосередньо перед приземленням vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s вниз, а vx усе ще 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Відповідь
М’яч приземляється на x ≈ 36,3 m від підніжжя скелі через 3,03 s.
6Типові помилки
Використовувати повну швидкість v0 там, де потрібна складова. Час польоту визначає лише vy, дальність — лише vx.
Плутати sin і cos. Горизонтальна складова йде з cos θ, коли θ відлічено від горизонталі.
Калькулятор у радіанах, коли кут у градусах.
Використовувати R = v0² · sin 2θ / g, коли м’яч приземляється нижче чи вище, ніж стартував. Тоді треба натомість розв’язувати вертикальне рівняння.
Надавати горизонтальному руху прискорення. Убік швидкість стала.
Самоперевірка М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 20 m/s під кутом 30° над горизонталлю. Скільки він перебуває в повітрі? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Відповідь: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, тож t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Використання повних 20 m/s дає 4,08 s, а 1,02 s — це лише час до найвищої точки.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкий: горизонтальний запуск зі скелі чи стіни. Знайти час польоту, відстань приземлення, швидкість запуску за заданою відстанню приземлення або швидкість удару. Деякі легкі запитання питають про час до найвищої точки запуску із землі.
Середній: запуск із рівної землі під кутом. Знайти час польоту, максимальну висоту або дальність. Варіації питають про швидкість чи кут запуску, що дає певну дальність, або висоту, на якій м’яч проходить над стіною.
Складний: запуск під кутом з вершини скелі або приземлення на дах. Покладіть y = 0 (або висоту даху), і вийде квадратне рівняння відносно t: візьміть додатний корінь.
У складному випадку кут приземлення нижче горизонталі випливає з кінцевих складових: tan α = |vy − g·t| / vx.
М’яч кидають горизонтально з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Знайти: x(m)
Показати підказки
Розглядайте горизонтальний і вертикальний рух окремо. Їх пов’язує лише час t.
М’яч приземляється, коли його висота y(t) стає 0. Запишіть y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, а політ триває 3,349 s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Розкладіть початкову швидкість
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Час польоту
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Горизонтальна відстань
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Відповідь
x = 33,49 m
Приклад 2Середня
М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Знайти: t(s)
Показати підказки
Розглядайте горизонтальний і вертикальний рух окремо. Їх пов’язує лише час t.
Через симетрію час підйому дорівнює часу спуску.
vy = 22,52 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Розкладіть початкову швидкість
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Час польоту
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Відповідь
t = 4,591 s
Приклад 3Складна
М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Знайти: t(s)
Показати підказки
Розглядайте горизонтальний і вертикальний рух окремо. Їх пов’язує лише час t.
М’яч приземляється, коли його висота y(t) стає 0. Запишіть y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Розкладіть початкову швидкість
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Час польоту
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Відповідь
t = 5,06 s
Запитання й відповіді
Рух тіла, кинутого під кутом: що це?
У цій темі ви ігноруєте опір повітря. Тоді траєкторія — завжди гладка крива, яку називають параболою.
Ключова ідея: рух розкладається на дві окремі частини. Убік ніщо не штовхає й не сповільнює тіло. Вгору і вниз гравітація тягне його з g = 9,81 m/s².
Рух тіла, кинутого під кутом: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Розкладіть початкову швидкість на складові: vx = v₀·cos θ і vy = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.
Рух тіла, кинутого під кутом: які помилки найпоширеніші?
Використовують v₀ замість складової.
Калькулятор у радіанах, хоча кут у градусах.
Використовують формулу дальності v₀²·sin 2θ/g, коли висоти запуску й приземлення різні.
Рух тіла, кинутого під кутом: що ви тренуєте?
Легка: горизонтальний кидок
Середня: кидок із землі
Складна: кидок із висоти
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.