Механічні коливання: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Механічні коливання з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: власна частота, коефіцієнт демпфування, послідовні й паралельні пружини.

Безкоштовна задачаЛегка
kmδst​ = 15 mmненавантажена

Машина стоїть на пружинних опорах, які під її вагою стискаються на 15 mm. Розгляньте її як систему з одним ступенем вільності без демпфування й візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.

δst = 15 mmg = 9,81 m/s²
Hz
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Механічні коливанняТренуйтеся зараз: Механічні коливанняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкавласна частота
  2. Середнякоефіцієнт демпфування
  3. Складнапослідовні й паралельні пружини

Основні формули

Власна частота
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Зі статичного прогину
ωn = √(g/δst)
Критичне демпфування
cc = 2√(km) = 2mωn
Коефіцієнт демпфування
ζ = c/cc
Частота загасаючих коливань
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно
k = k1 + k2
Пружини послідовно
1/k = 1/k1 + 1/k2

Вивчайте тему «Механічні коливання» з нуля

Перед цим: Пружини й маятники

1Що таке вібрація

Підвісьте вантаж на пружині, трохи відтягніть униз і відпустіть. Він підстрибує вгору й униз навколо положення спокою. Цей повторюваний рух — вібрація.

Кожна така система має власний улюблений ритм — власну частоту. Вона залежить лише від жорсткості пружини й маси вантажу, а не від того, наскільки далеко ви відтягнули.

kmx

Інженерам це важливо, бо машина, яку трусять на власній частоті, може сильно вібрувати. Це називають резонансом. Опори двигунів, пральні машини та мости проєктують з урахуванням цього.

Жорсткіша пружина робить вібрацію швидшою. Важчий вантаж робить її повільнішою.

Самоперевірка Ви замінюєте вантаж на пружині на вчетверо важчий. Що станеться з власною частотою?
  1. Вона зменшиться вдвічі
  2. Вона подвоїться
  3. Вона стане вчетверо нижчою
  4. Залишається незмінною

Відповідь: Вона зменшиться вдвічі. Частота залежить від √(k/m). Учетверо більша маса ділить квадратний корінь на √4 = 2, тож частота зменшується вдвічі.

2Власна частота і комбінації пружин

Для вантажу m (kg) на пружині жорсткістю k (N/m) власна колова частота у rad/s дорівнює:

ωn = √(k / m)

Один повний цикл — це 2π радіанів. Тому власна частота в герцах (цикли за секунду) і період (секунди на цикл) дорівнюють:

fn = ωn / (2π) T = 1 / fn

Іноді відомо лише, наскільки пружина прогинається під вагою, — статичний прогин δst = m·g/k. Тоді ωn = √(g / δst), де δst у метрах.

Коли пружин кілька, спершу замініть їх однією еквівалентною пружиною:

k1​k2​mk1​k2​mk = k₁ + k₂1/k = 1/k₁ + 1/k₂
  • Поряд (паралельно) пружини ділять навантаження, а жорсткості додаються.
  • Кінець до кінця (послідовно) кожна пружина сприймає повне навантаження, і еквівалентна пружина м’якша за кожну з них.
Самоперевірка Дві пружини по 10 kN/m з’єднано кінець до кінця (послідовно). Яка еквівалентна жорсткість?
  1. 10 kN/m
  2. 100 kN/m
  3. 20 kN/m
  4. 5 kN/m

Відповідь: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, тож k = 5 kN/m. Додавання їх до 20 kN/m — це правило для пружин, з’єднаних паралельно.

3Демпфування

Реальні вібрації згасають. Демпфер (поршень, що рухається в оливі, як амортизатор автомобіля) забирає енергію. Його сила — це коефіцієнт демпфування c у N·s/m.

kcmx

Критичне демпфування — це така кількість демпфування, що якраз зупиняє підстрибування вантажу:

cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn

Коефіцієнт демпфування порівнює реальне демпфування з цим критичним значенням:

ζ = c / cc
  • ζ < 1: недодемпфована. Вантаж ще вібрує, але розмахи зменшуються.
  • ζ = 1: критично демпфована. Повертається до спокою якомога швидше без перерегулювання.
  • ζ > 1: передемпфована. Повільно повзе назад без вібрації.

Недодемпфована система вібрує трохи повільніше за недемпфовану, з демпфованою власною частотою:

ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Самоперевірка Вантаж 10 kg стоїть на пружині 1000 N/m з демпфером c = 50 N·s/m. Який коефіцієнт демпфування?
  1. 0,25
  2. 0,5
  3. 2,5
  4. 4

Відповідь: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, тож ζ = 50/200 = 0,25. Якщо забути множник 2, вийде 0,5, а ділення навпаки дає 4.

4Метод крок за кроком

  1. Переведіть усе в одиниці SI: kN/m в N/m (× 1000), mm в m, грами в kg.
  2. Якщо пружин кілька, об’єднайте їх в одну k: паралельно додайте, послідовно додайте обернені значення.
  3. Знайдіть ωn = √(k/m) у rad/s.
  4. Якщо запитано герци, поділіть на 2π: fn = ωn/(2π). Для періоду візьміть T = 1/fn.
  5. З демпфуванням знайдіть cc = 2·√(k·m), потім ζ = c/cc і, якщо запитано, ωd = ωn·√(1 − ζ²).

Розрізняйте ω (rad/s) і f (Hz). Вони відрізняються множником 2π ≈ 6,28, і плутанина між ними — найчастіша причина втрати балів.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вантаж 50 kg висить на пружині жорсткістю 20 kN/m. Знехтуйте демпфуванням. Знайдіть власну частоту fn у Hz і період вібрації.

1

Намалюйте й переведіть одиниці

20 kN/m50 kgx

Жорсткість має бути в N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Маса вже в kg.

2

Власна кутова частота

ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3

Перейдіть до герців

Поділіть на 2π, щоб порахувати повні цикли за секунду:

fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4

Період

T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s

Вантаж робить трохи більше трьох повних циклів угору й униз щосекунди.

5

Перевірте відповідь

Статичний прогин δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.

ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s

Ті самі 20 rad/s, знайдені іншим способом. Відповідь правильна.

6

Далі: додайте демпфер

З демпфером c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, тож ζ = 400/2000 = 0,2.

ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Відповідь

fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), а період T ≈ 0,314 s.

6Типові помилки

  • Давати ωn у rad/s, коли запитано fn у Hz, або навпаки.
  • Лишати жорсткість у kN/m. Формула потребує N/m.
  • Додавати пружини послідовно так, ніби вони паралельні.
  • Забувати 2 в cc = 2·√(k·m).
  • Використовувати вагу m·g замість маси m в ωn = √(k/m).
Самоперевірка Вантаж 4 kg висить на пружині 400 N/m. Яка його власна частота в Hz?
  1. 0,05 Hz
  2. 1,59 Hz
  3. 10 Hz
  4. 62,8 Hz

Відповідь: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, а fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Зупинка на 10 дає rad/s, а не Hz; множення на 2π дає 62,8; використання 0,4 (kN/m) дає 0,05 Hz.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: власна частота. Вантаж на пружині: знайдіть ωn у rad/s або fn у Hz. Деякі запитання дають лише статичний прогин машини на її опорах.
  • Середньо: коефіцієнт демпфування. Знайдіть ζ за m, k і c або знайдіть демпфовану частоту fd за заданим ζ. Інші дають два піки з випробування вільних коливань.
  • Складно: пружини послідовно й паралельно, іноді обидва (дві пружини поряд тримають брус, з третьою пружиною внизу). Спершу знайдіть keq, потім fn.

Для двох піків x0 і xn, віддалених на n циклів, використайте логарифмічний декремент:

δ = (1/n) · ln(x0 / xn), ζ = δ / √(4π² + δ²)

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
k = 15 kN/mm = 40 kgx

Маса 40 kg висить на пружині жорсткістю 15 kN/m. Демпфуванням знехтуйте. Знайдіть власну частоту fn у Hz.

m = 40 kgk = 15 kN/m

Знайти: fn (Hz)

Показати підказки
  1. Працюйте в одиницях SI: k у N/m.
  2. ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
  3. k = 15000 N/m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна кутова частота

ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s

У герцах

fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Відповідь

fn = 3,082 Hz
Приклад 2Середня
k = 50 kN/mζ = 0,4m = 10 kg

Маса 10 kg на пружині жорсткістю 50 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,4. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.

m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4

Знайти: fd (Hz)

Показати підказки
  1. Спершу знайдіть власну частоту без демпфування.
  2. ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
  3. fd = fn·√(1 − ζ²).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Частота загасаючих коливань

fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz

Відповідь

fd = 10,31 Hz
Приклад 3Складна
k1​ = 80k2​ = 20m = 5 kg

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 80 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.

m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m

Знайти: keq (kN/m)

Показати підказки
  1. Паралельні пружини мають спільний прогин: жорсткості додаються. Послідовні пружини передають спільну силу: додаються податливості 1/k.
  2. 1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
  3. keq < 20 kN/m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/20 → keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m

Відповідь

keq = 16 kN/m

Запитання й відповіді

Механічні коливання: що це?

Підвісьте вантаж на пружині, трохи відтягніть униз і відпустіть. Він підстрибує вгору й униз навколо положення спокою. Цей повторюваний рух — вібрація.

Кожна така система має власний улюблений ритм — власну частоту. Вона залежить лише від жорсткості пружини й маси вантажу, а не від того, наскільки далеко ви відтягнули.

Механічні коливання: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Механічні коливання: які помилки найпоширеніші?
  • Це ωn у rad/s. Поділіть на 2π, щоб отримати частоту в Hz.
  • Переведіть kN/m у N/m (помножте на 1000), перш ніж використовувати ωn = √(k/m).
  • Поділіть ωn на 2π, щоб отримати Hz; не множте.
Механічні коливання: що ви тренуєте?
  • Легка: власна частота
  • Середня: коефіцієнт демпфування
  • Складна: послідовні й паралельні пружини

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Пружини й маятники

Калькулятори

Калькулятор власної частоти й демпфування

Курси з цією темою

ДинамікаДеталі машинПідготовка до іспиту FE Mechanical

Інші теми: Машинобудування

Опорні реакції балокРами та механізмиОсьове напруження й деформаціяКручення валівКоло Мора й перетворення напруженьРух тіла, кинутого під кутомРобота й енергіяОбертання твердого тілаТеплові машини й холодильникиГазові цикли теплових двигунівНерозривність і БернулліТертя в трубах і втрати напоруНасоси й потужність насосівТеплопровідністьЗубчасті колеса й передачі

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Механічні коливання» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Механічні коливанняТренуйтеся зараз: Механічні коливанняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.