Ферма: метод вирізання вузлів: задачі з покроковими розв’язками

Q: Ферма: метод вирізання вузлів: що це?

Стрижні називають елементами, а точки з’єднання — вузлами. У простій моделі кожен вузол є шарніром, а навантаження діють лише у вузлах. Тоді кожен елемент розтягується або стискається лише вздовж своєї довжини. Він несе єдину осьову силу:

Q: Ферма: метод вирізання вузлів: що ви тренуєте?

Легка: симетрична Середня: несиметрична Складна: вертикальне + горизонтальне навантаження Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: зусилля в стержнях ферми · метод перерізів · метод Ріттера

Безкоштовні задачі з теми Ферма: метод вирізання вузлів з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: симетрична, несиметрична, вертикальне + горизонтальне навантаження.

Безкоштовна задачаЛегка

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Ферма: метод вирізання вузлів Тренуйтеся зараз: Ферма: метод вирізання вузлівБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкасиметрична
Середнянесиметрична
Складнавертикальне + горизонтальне навантаження

Як розв’язувати задачі на тему «Ферма: метод вирізання вузлів»

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Типові помилки

Починають з вузла з трьома невідомими.
Забувають кутові складові похилих стрижнів.
Плутають розтяг і стиск.

Основні формули

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Вивчайте тему «Ферма: метод вирізання вузлів» з нуля

Перед цим: Опорні реакції балок

1Що таке ферма

Ферма — це каркас із прямих стрижнів, з’єднаних кінцями так, що утворюють трикутники. Їх видно в дахах, кранах, опорах і багатьох мостах.

Стрижні називають елементами, а точки з’єднання — вузлами. У простій моделі кожен вузол є шарніром, а навантаження діють лише у вузлах.

Тоді кожен елемент розтягується або стискається лише вздовж своєї довжини. Він несе єдину осьову силу:

розтяг: елемент розтягується й стає довшим. Ми вважаємо це додатним.
стиск: елемент стискається й стає коротшим. Ми вважаємо це від’ємним.

Трикутники використовують, бо трикутник не може змінити форму, не змінивши довжину сторони. Це робить ферму жорсткою за малих витрат матеріалу.

Самоперевірка Сила в елементі виходить −12 kN. Що це означає?

Елемент не несе сили
Елемент розтягнутий, 12 kN
Елемент стиснутий, 12 kN
Навантаження спрямоване вгору

Відповідь: Елемент стиснутий, 12 kN. Коли розтяг вважають додатним, від’ємна сила — це стиск: елемент стискається і вкорочується.

2Сили у вузлі

Кожен вузол перебуває в рівновазі сам по собі. Тому в кожному вузлі виконуються два рівняння:

ΣF_x = 0 ΣF_y = 0

Два рівняння означають, що в одному вузлі можна знайти щонайбільше дві невідомі сили в елементах. Завжди починайте з вузла, де невідомих лише дві.

Зображуйте кожну невідому силу в елементі як розтяг: стрілка, спрямована від вузла вздовж елемента. Якщо відповідь від’ємна, елемент стиснутий.

Сила в похилому елементі має дві складові. Якщо елемент утворює кут α з горизонталлю:

F_x = F · cos α F_y = F · sin α

Сам кут потрібен рідко. Із горизонтальної проекції елемента a, висоти h і довжини ℓ = √(a² + h²): cos α = a/ℓ і sin α = h/ℓ.

Самоперевірка Елемент іде на 4 m по горизонталі й на 3 m по вертикалі, тож його довжина 5 m. Він несе 10 kN. Яка вертикальна складова?

10 kN
6 kN
7,5 kN
8 kN

Відповідь: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, тож F_y = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN — це горизонтальна складова (cos α = 0,8).

3Метод крок за кроком

Знайдіть реакції опор для всієї ферми: ΣM_A = 0 дає C_y, потім ΣF_y = 0 дає A_y (а ΣF_x = 0 дає A_x, якщо є горизонтальне навантаження).
Оберіть вузол щонайбільше з двома невідомими силами в елементах, зазвичай опорний вузол.
Зобразіть вузол з усіма невідомими силами в елементах як розтяг (від вузла).
Запишіть ΣF_y = 0. Якщо вертикальну складову має лише один елемент, це одразу дає його силу.
Запишіть ΣF_x = 0 для другої сили.
Перейдіть до наступного вузла, використовуючи вже відомі сили. Від’ємний результат означає стиск.

Метод перерізів — альтернатива: розріжте потрібні елементи й візьміть моменти відносно точки, де сходяться інші розрізані елементи.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Ферма перекриває 8 m і має висоту 3 m, вузол B розташований над серединою прольоту. У B діє вертикальне навантаження 30 kN. Знайдіть сили в елементах AB і AC.

Подивіться на ферму

A — шарнір, а C — каток. Кожен похилий елемент має горизонтальну проекцію 4 m і висоту 3 m, тож його довжина √(4² + 3²) = 5 m.

Опорні реакції

Ферма й навантаження симетричні, тож кожна опора несе половину навантаження:

A_y = C_y = 30 / 2 = 15 kN

Вузол A: вертикальний баланс

sin α = 3/5 = 0,6 і cos α = 4/5 = 0,8. У вузлі A вертикальну складову має лише AB.

15 + F_AB · 0,6 = 0 ⇒ F_AB = −25 kN

Від’ємне, тож AB стиснутий.

Вузол A: горизонтальний баланс

F_AC + F_AB · 0,8 = 0 ⇒ F_AC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Додатне, тож AC розтягнутий. Він стягує опори ферми.

Перевірте відповідь

За симетрією F_BC = −25 kN також. У вузлі B два елементи штовхають угору із силою 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, що врівноважує навантаження 30 kN.

Відповідь

F_AB = −25 kN (стиск) і F_AC = 20 kN (розтяг).

5Типові помилки

Починати з вузла з трьома невідомими силами. Два рівняння не можуть розв’язати три невідомі.
Плутати sin і cos. Перевірте, яка сторона трикутника вертикальна.
Зображувати одні невідомі як стиск, а інші як розтяг, а потім неправильно читати знаки. Зображуйте всі як розтяг.
Забувати реакцію опори у вузлі або давати їй неправильний напрям.
Забувати горизонтальне навантаження в рівнянні моментів для реакцій.

Самоперевірка У котка C реакція C_y = 9 kN вгору. Елемент BC — єдиний, що має там вертикальну складову, з sin γ = 0,6. Чому дорівнює F_BC?

+15 kN (розтяг)
−11,25 kN (стиск)
−15 kN (стиск)
−5,4 kN (стиск)

Відповідь: −15 kN (стиск). ΣF_y = 0: 9 + F_BC·0,6 = 0, тож F_BC = −15 kN. +15 kN губить знак; −5,4 множить на sin γ замість ділити; −11,25 використовує cos γ = 0,8.

6Як виглядають екзаменаційні запитання

Легко: симетрична. B над серединою прольоту, навантаження вертикальне, як у прикладі. Реакції — по половині навантаження.
Середньо: несиметрична. B не над серединою прольоту, тож AB і BC мають різні кути. Спершу знайдіть C_y з моментів відносно A.
Складно: вертикальне й горизонтальне навантаження у B. Шарнір A також має горизонтальну реакцію. Вузол C усе ще найлегший для початку, бо каток дає лише C_y.

Запитують силу в одному елементі: AB, BC або AC. Розтяг подавайте додатним, а стиск від’ємним.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

Знайти: F_AB (kN)

Показати підказки

Спочатку знайдіть опорні реакції з рівноваги всієї ферми.
У вузлі A лише стрижень AB має вертикальну складову. ΣF_y = 0 одразу дає F_AB.
A_y = 22,5 kN.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Відповідь

F_AB = −40,56 kN (стиск)

Приклад 2Середня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

Знайти: F_BC (kN)

Показати підказки

Спочатку знайдіть опорні реакції з рівноваги всієї ферми.
Перейдіть до вузла C. Там лише BC має вертикальну складову, тож почніть із ΣF_y = 0.
C_y = 7,5 kN.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Відповідь

F_BC = −20,19 kN (стиск)

Приклад 3Складна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 60 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

Знайти: F_BC (kN)

Показати підказки

Спочатку знайдіть опорні реакції з рівноваги всієї ферми.
Перейдіть до вузла C. Там лише BC має вертикальну складову, тож почніть із ΣF_y = 0.
C_y = −6 kN.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 − 30·3 → C_y = −6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − −6 = 66 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол C

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−6/0,6 = 10 kN

Відповідь

F_BC = 10 kN (розтяг)

Запитання й відповіді

Ферма: метод вирізання вузлів: що це?

Тоді кожен елемент розтягується або стискається лише вздовж своєї довжини. Він несе єдину осьову силу:

Ферма: метод вирізання вузлів: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Ферма: метод вирізання вузлів: які помилки найпоширеніші?

Починають з вузла з трьома невідомими.
Забувають кутові складові похилих стрижнів.
Плутають розтяг і стиск.

Ферма: метод вирізання вузлів: що ви тренуєте?

Легка: симетрична
Середня: несиметрична
Складна: вертикальне + горизонтальне навантаження

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Опорні реакції балок

Далі

Рами та механізми

Калькулятори

Калькулятор ферми (метод вузлів)

Курси з цією темою

Статика Будівельна механіка Підготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Будівництво

Поперечна сила і згинальний момент Прогин балки Центр ваги й момент інерції Стійкість колон Ефективне напруження в ґрунті Консолідаційне осідання Гідростатична сила Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Ферма: метод вирізання вузлів» з відповідями