Течія у відкритих каналах (Маннінг): задачі з покроковими розв’язками

Q: Течія у відкритих каналах (Маннінг): як розв’язувати задачі крок за кроком?

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R2/3·S1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Q: Течія у відкритих каналах (Маннінг): що ви тренуєте?

Легка: швидкість у каналі Середня: витрата Складна: потрібний ухил Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Безкоштовні задачі з теми Течія у відкритих каналах (Маннінг) з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: швидкість у каналі, витрата, потрібний ухил.

Безкоштовна задачаЛегка

Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m у прямокутному каналі (необроблений бетон) шириною 1 m (n Маннінга = 0,014). Ухил дна S = 0,0008. За формулою Маннінга в одиницях SI знайдіть середню швидкість V.

b = 1 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0008

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Течія у відкритих каналах (Маннінг)Тренуйтеся зараз: Течія у відкритих каналах (Маннінг)Безкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкашвидкість у каналі
Середнявитрата
Складнапотрібний ухил

Основні формули

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Вивчайте тему «Течія у відкритих каналах (Маннінг)» з нуля

1Що таке течія у відкритому руслі

Вода в річці, каналі, дренажному рові чи не повністю заповненому колекторі тече з вільною поверхнею, відкритою до повітря. Це течія у відкритому руслі.

Воду ніщо не качає. Гравітація тягне її вниз по схилу дна, а тертя об дно й стінки її стримує.

Коли ці два чинники врівноважуються, глибина та швидкість лишаються однаковими вздовж русла. Це називають рівномірною течією, і саме її описує рівняння Меннінга.

Інженери використовують його, щоб відповісти на три запитання: як швидко тече вода, скільки води може пропустити русло і яким крутим має бути русло?

Самоперевірка Які два чинники врівноважують один одного в рівномірній течії у відкритому руслі?

Вага води та її виштовхувальна сила
Гравітація вздовж схилу та тертя об дно й стінки
Тиск насоса й тертя
Тиск повітря й тиск води

Відповідь: Гравітація вздовж схилу та тертя об дно й стінки. Нахил дна дозволяє гравітації рухати воду, а шорстка межа її сповільнює. Коли вони врівноважуються, глибина й швидкість перестають змінюватися.

2Гідравлічний радіус і змочений периметр

Тертя діє лише там, де вода торкається русла. Ця межа, виміряна навколо поперечного перерізу, — це змочений периметр P. Вільна поверхня торкається повітря, тож її не враховують.

Жирна лінія на малюнку — це P. Заштрихована частина — площа потоку A. Їхнє відношення — це гідравлічний радіус:

R = A / P

Прямокутник шириною b і глибиною y: A = b·y і P = b + 2y.
Трапеція з укосами z:1 (z по горизонталі на 1 по вертикалі): A = (b + z·y)·y і P = b + 2y·√(1 + z²).
Кругла труба, що тече повністю або наполовину заповнена: R = D/4.

Велике R означає багато води на малу межу, тож менше тертя на літр і швидша течія.

Самоперевірка Прямокутне русло має ширину 4 m, а глибина води 1 m. Чому дорівнює гідравлічний радіус R?

0,5 m
0,667 m
1 m
4 m

Відповідь: 0,667 m. A = 4 · 1 = 4 m² і P = 4 + 2 · 1 = 6 m, тож R = 4/6 = 0,667 m. Якщо включити вільну поверхню в P (P = 8 m), вийде 0,5 m, а 1 m — це глибина, а не R.

3Формула Маннінга

В одиницях SI середня швидкість рівномірної течії дорівнює:

V = (1/n) · R^2/3 · S^1/2

n — коефіцієнт шорсткості Меннінга. Гладкий оброблений бетон — близько 0,012, цегляна кладка 0,015, чиста земля 0,022, земля, вкрита травою, 0,03. Шорсткіше означає більше n і повільнішу воду.
R — гідравлічний радіус у m.
S — нахил дна в m/m, чисте число. Падіння 1,5 m на кілометр — це S = 1,5/1000 = 0,0015.

Витрата (дебіт) — це швидкість, помножена на площу потоку:

Q = A · V

Щоб знайти потрібний руслу нахил, об’єднайте обидві формули й розв’яжіть відносно S:

S = (n · Q / (A · R^2/3))²

Самоперевірка Дно русла падає на 2 m на 1 km. Який нахил S використовувати в рівнянні Меннінга?

0,0002
0,002
0,02
2

Відповідь: 0,002. S = падіння/довжина = 2 m / 1000 m = 0,002. Нахил не має одиниці виміру, тож метри мають скоротитися.

4Метод крок за кроком

Накресліть поперечний переріз і запишіть b, y, z (якщо трапецеїдальний), n і S.
Знайдіть площу потоку A.
Знайдіть змочений периметр P: дно плюс змочені боки, ніколи не вільна поверхня.
Гідравлічний радіус: R = A/P.
Меннінг: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2.
Якщо запитано витрату: Q = A·V. Якщо запитано нахил, використайте S = (n·Q/(A·R^2/3))².

На калькуляторі R^2/3 — це R^(2/3), у дужках. Обчисліть R^2/3 і √S окремо, перш ніж множити.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вода тече рівномірно на глибині 1 m у прямокутному цегляному руслі шириною 3 m (n Меннінга = 0,015). Нахил дна S = 0,001. Знайдіть середню швидкість V і витрату Q.

Подивіться на переріз

Це прямокутник, тож A = b·y і P = b + 2y.

Площа та змочений периметр

A = 3 · 1 = 3 m²

P = 3 + 2 · 1 = 5 m

Гідравлічний радіус

R = A/P = 3/5 = 0,6 m

Тоді R^2/3 = 0,6^2/3 = 0,7114.

Формула Маннінга

√S = √0,001 = 0,03162.

V = (1/0,015) · 0,7114 · 0,03162 = 1,50 m/s

Витрата

Q = A · V = 3 · 1,50 = 4,50 m³/s

Перевірте відповідь

Облицьовані русла зазвичай мають швидкість від 1 до 3 m/s, тож 1,50 m/s цілком розумно. Шорсткіше земляне облицювання (n = 0,022) дало б меншу швидкість за того самого нахилу.

Відповідь

V = 1,50 m/s і Q = 4,50 m³/s.

6Типові помилки

Використовувати глибину y замість гідравлічного радіуса R.
Враховувати вільну поверхню у змоченому периметрі.
Для трапеції брати кожен бік завдовжки y. Змочений бік дорівнює y·√(1 + z²).
Використовувати S замість √S або забувати піднести до квадрата наприкінці, коли розв’язуєте відносно S.
Використовувати нахил у m/km так, ніби це m/m.
Давати V, коли запитано Q: помножте на площу.

Самоперевірка Прямокутне русло: b = 4 m, y = 1 m, n = 0,02, S = 0,0016. Яка середня швидкість V?

0,061 m/s
1,26 m/s
1,53 m/s
2,00 m/s

Відповідь: 1,53 m/s. R = 4/6 = 0,667 m, тож V = (1/0,02) · 0,667^(2/3) · 0,04 = 1,53 m/s. Якщо взяти глибину за R, вийде 2,00 m/s, а якщо включити вільну поверхню в P — 1,26 m/s.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легко: швидкість у прямокутному руслі. Іноді нахил задано як падіння на кілометр.
Середньо: витрата Q у прямокутному чи трапецеїдальному руслі або в трубі, що тече повністю чи наполовину заповненою (R = D/4).
Складно: нахил дна, потрібний, щоб русло пропускало задану витрату Q, або нахил колектора для заданої швидкості.

Приклад із трапецією: b = 2 m, y = 1 m, укоси 2:1, n = 0,022, S = 0,001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m² і P = 2 + 2·1·√5 = 6,47 m, тож R = 0,618 m.

V = (1/0,022) · 0,618^2/3 · √0,001 = 1,04 m/s, Q = 4 · 1,04 = 4,17 m³/s

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Вода тече рівномірно з глибиною 1 m у прямокутному каналі (чистий ґрунт) шириною 2,5 m (n Маннінга = 0,022). Дно знижується на 4 m на кілометр. За формулою Маннінга в одиницях SI знайдіть середню швидкість V.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,022зниження = 4 m/km

Знайти: V (m/s)

Показати підказки

Знайдіть гідравлічний радіус R = A/P для змоченого перерізу.
Ухил — це зниження, поділене на довжину: S = 4/1000.
R = 0,5556 m.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Гідравлічний радіус

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m

R = A/P = 0,5556 m

Нахил

S = 4/1000 = 0,004

Формула Маннінга

V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 = (1/0,022)·0,5556^2/3·0,004^1/2 = 1,943 m/s

Відповідь

V = 1,943 m/s

Приклад 2Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 300 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0005

Знайти: Q (m³/s)

Показати підказки

Повністю заповнена: A = π·D²/4 і P = π·D.
В обох випадках R = A/P = D/4 = 0,075 m.
Знайдіть V за Маннінгом, потім Q = A·V.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Геометрія

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,0005^1/2 = 0,3059 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07069·0,3059 = 0,02162 m³/s

Відповідь

Q = 0,02162 m³/s

Приклад 3Складна

Прямокутний канал (ґрунт, укріплений травою) шириною 2,5 m має пропускати 2,7 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,8 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03

Знайти: S (m/m)

Показати підказки

Об’єднайте Q = A·V з формулою Маннінга: Q = (1/n)·A·R^2/3·S^1/2.
A = 4,5 m², R = 0,7377 m.
Розв’яжіть щодо S: S = (n·Q/(A·R^2/3))².

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Геометрія

A = b·y = 2,5·1,8 = 4,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,8 = 6,1 m

R = A/P = 0,7377 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,7/(4,5·0,8164) = 0,02205

S = 0,02205² = 0,0004861

Відповідь

S = 0,0004861

Це зниження на 0,4861 m на кілометр.

Запитання й відповіді

Течія у відкритих каналах (Маннінг): що це?

Воду ніщо не качає. Гравітація тягне її вниз по схилу дна, а тертя об дно й стінки її стримує.

Течія у відкритих каналах (Маннінг): як розв’язувати задачі крок за кроком?

Течія у відкритих каналах (Маннінг): які помилки найпоширеніші?

Використовуйте гідравлічний радіус R = A/P, а не глибину. Глибина — добре наближення лише для дуже широких каналів.
Вільна поверхня не входить у змочений периметр: P = b + 2y.
Ухил безрозмірний: 4 m на 1000 m дає S = 0,004.

Течія у відкритих каналах (Маннінг): що ви тренуєте?

Легка: швидкість у каналі
Середня: витрата
Складна: потрібний ухил

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Калькулятори

Калькулятор формули Маннінга

Курси з цією темою

Гідравліка й гідротехніка Підготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Будівництво

Поперечна сила і згинальний момент Ферма: метод вирізання вузлів Прогин балки Центр ваги й момент інерції Стійкість колон Ефективне напруження в ґрунті Консолідаційне осідання Гідростатична сила

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Течія у відкритих каналах (Маннінг)» з відповідями