Консолідаційне осідання: задачі з покроковими розв’язками
Безкоштовні задачі з теми Консолідаційне осідання з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: нормально ущільнена глина, переущільнена глина, час консолідації.
Безкоштовна задачаЛегка
Шар нормально ущільненої глини товщиною 7,5 m (Cc = 0,5, e₀ = 1,15) має ефективне вертикальне напруження 135 kPa посередині товщі. Широкий насип збільшує вертикальне напруження в глині на 110 kPa. Розгляньте шар як один підшар із напруженнями посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.
Коли ви будуєте на шарі глини, додаткове навантаження стискає глину. Вода виштовхується з пор, і частинки зближуються. Поверхня ґрунту опускається: це консолідаційна осадка.
Глина має дуже малі пори, тож вода виходить повільно. Будівля на глині може осідати роками.
Кількість порового простору вимірюється коефіцієнтом пористостіe: об’ємом пор, поділеним на об’єм твердих частинок. Глина з e = 1 має стільки ж об’єму пор, скільки об’єму частинок.
Коли глину стискають, e зменшується. Шар стає тоншим на ту саму частку від свого повного об’єму:
S = H · Δe / (1 + e0)
Тут H — товщина шару, e0 — початковий коефіцієнт пористості, а Δe — зменшення коефіцієнта пористості. Вираз 1 + e0 — це повний об’єм на одиницю об’єму частинок.
Самоперевірка Чому шар глини осідає роками, а пісок осідає майже відразу?
Вода має витекти з дуже малих пор, а це потребує часу
Глина не має води в порах
Навантаження на глину зростає повільно протягом років
Частинки глини важчі за частинки піску
Відповідь: Вода має витекти з дуже малих пор, а це потребує часу. Осадка потребує, щоб вода залишила пори. У глині пори крихітні, тож вода витікає повільно. У піску вона виходить майже відразу.
2Нормально консолідована та переущільнена глина
Випробування показують, що e спадає за прямою лінією, коли її відкладають проти логарифма ефективного напруження σ′. Нахил цієї лінії — це індекс стисливостіCc.
Деякі глини зазнавали в минулому більшого навантаження, наприклад від льодовика чи ґрунту, що відтоді розмився. Найбільше ефективне напруження, яке глина колись витримувала, — це її тиск переущільненняσ′p.
Нижче за σ′p глина лише повторно стискається вздовж пологої лінії з нахилом Cr, індексом повторного стиснення. Cr малий, часто Cc/10.
Вище за σ′p глина йде за крутою лінією з нахилом Cc.
Глина, що зараз має σ′0 = σ′p, нормально консолідована (NC). Глина з σ′0 < σ′pпереущільнена (OC). Коефіцієнт переущільнення OCR = σ′p/σ′0.
З σ′f = σ′0 + Δσ як кінцевим ефективним напруженням осадка дорівнює:
Усі напруження беруть у середині шару глини, яка репрезентує середнє для всього шару.
Самоперевірка Глина має σ′₀ = 60 kPa і σ′p = 120 kPa. Навантаження підвищує напруження до σ′f = 100 kPa. Який індекс ви використовуєте?
Cr до 120 kPa, потім Cc
Жоден: глина не осідає
Лише Cc
Лише Cr
Відповідь: Лише Cr. Кінцеве напруження 100 kPa залишається нижче за σ′p = 120 kPa, тож глина лише повторно стискається вздовж пологої лінії Cr. Cc знадобився б лише вище за 120 kPa.
3Скільки це триває
Час досягнення певної частини кінцевої осадки залежить від того, як далеко має пройти вода. Ця відстань — шлях фільтраціїHdr.
Пісок (або інший шар із вільним дренажем) над глиною й під нею: вода виходить з обох поверхонь, тож Hdr = H/2. Це двосторонній дренаж.
Скеля або інший водонепроникний шар знизу: вода може вийти лише зверху, тож Hdr = H. Це односторонній дренаж.
t = Tv · Hdr² / cv
cv — коефіцієнт консолідації глини, наприклад у m²/year. Tv — фактор часу для бажаного ступеня консолідації U: 0,197 для 50%, 0,403 для 70%, 0,848 для 90%.
Приклад: шар глини 4 m на скелі, cv = 2 m²/year, U = 50%. t = 0,197 · 4²/2 = 1,576 року. З піском знизу Hdr = 2 m і t = 0,394 року: у чотири рази швидше.
Самоперевірка Шар глини завтовшки 6 m лежить між двома шарами піску. Чому дорівнює шлях фільтрації Hdr?
1,5 m
12 m
3 m
6 m
Відповідь: 3 m. Вода виходить угорі й унизу, тож найдовший шлях дорівнює половині шару: 6/2 = 3 m. Використання повних 6 m правильне, лише коли одна поверхня закрита.
4Метод крок за кроком
Знайдіть початкове ефективне напруження σ′0 у середині глини (задане або за профілем ґрунту).
Додайте додаткове напруження: σ′f = σ′0 + Δσ.
Визначте тип глини. Якщо задано σ′p або OCR, порівняйте σ′f з σ′p = OCR·σ′0.
Оберіть відповідну формулу й використайте log₁₀, а не ln.
Дайте S в одиниці, яку просять: метри, помножені на 1000, дають міліметри.
Для запитання про час: знайдіть Hdr за дренажем зверху й знизу, потім t = Tv·Hdr²/cv.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Шар нормально консолідованої глини завтовшки 4 m (Cc = 0,3, e0 = 1,0) має σ′0 = 100 kPa на середній глибині. Широкий насип додає Δσ = 100 kPa. Знайдіть первинну консолідаційну осадку S у mm.
1
Подивіться на шар
Глина нормально консолідована, тож усе збільшення напруження йде за лінією Cc.
2
Кінцеве ефективне напруження
σ′f = σ′0 + Δσ = 100 + 100 = 200 kPa
3
Логарифм
log₁₀(σ′f/σ′0) = log₁₀(200/100) = log₁₀ 2 = 0,301
4
Множник шару
Cc·H/(1 + e0) = 0,3 · 4/(1 + 1,0) = 0,6 m
5
Осідання
S = 0,6 · 0,301 = 0,1806 m = 180,6 mm
6
Перевірте відповідь
Коефіцієнт пористості зменшується на Δe = Cc·0,301 = 0,0903. Тоді S = H·Δe/(1 + e0) = 4 · 0,0903/2 = 0,1806 m. Це 4,5% шару, що є звичайним значенням для м’якої глини.
Відповідь
S ≈ 181 mm (0,1806 m).
6Типові помилки
Використовувати ln замість log₁₀. Тоді відповідь у 2,3 раза завелика.
Забувати поділити на 1 + e0.
Писати log₁₀(Δσ/σ′0) замість log₁₀((σ′0 + Δσ)/σ′0).
Використовувати Cc для переущільненої глини, що залишається нижче за σ′p.
Брати Hdr = H/2, коли глина лежить на скелі, або Hdr = H, коли дренують обидві поверхні.
Забувати піднести Hdr до квадрата у формулі часу.
Самоперевірка NC-глина: Cc = 0,25, H = 4 m, e₀ = 1,0, σ′₀ = 50 kPa, Δσ = 50 kPa. Чому дорівнює S?
0 mm
150,5 mm
301,0 mm
346,6 mm
Відповідь: 150,5 mm. S = 0,25·4/2 · log₁₀(100/50) = 0,5 · 0,301 = 0,1505 m. Використання ln дає 346,6 mm, пропуск 1 + e₀ дає 301 mm, а log₁₀(Δσ/σ′₀) = log₁₀ 1 дає 0.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкий: нормально консолідована глина. Вам дають H, Cc, e0, σ′0 і Δσ, як у прикладі. Іноді спершу треба знайти σ′0 за профілем ґрунту.
Середній: переущільнена глина з Cr, Cc та σ′p або OCR. Спершу порівняйте σ′f із σ′p; розділіть логарифм у σ′p, якщо його перейдено.
Складний: час консолідації. Визначте односторонній чи двосторонній дренаж, потім t = Tv·Hdr²/cv.
Розібраний приклад OC: H = 2 m, e0 = 1, Cr = 0,04, Cc = 0,4, σ′0 = 50 kPa, σ′p = 100 kPa, Δσ = 100 kPa. Тоді σ′f = 150 kPa перевищує σ′p.
S = 2/2 · [0,04·log₁₀(100/50) + 0,4·log₁₀(150/100)] = 0,0120 + 0,0704 = 0,0825 m
Шар нормально ущільненої глини товщиною 7 m (γsat = 18,5 kN/m³, Cc = 0,2, e₀ = 0,9) залягає під 4 m піску (γ = 19 kN/m³). Рівень ґрунтових вод — на покрівлі глини; візьміть γw = 9,81 kN/m³. Широкий насип збільшує вертикальне напруження в усій товщі глини на 70 kPa. Розгляньте шар як один підшар із напруженнями посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.
пісок: Hs = 4 m, γ = 19 kN/m³глина: H = 7 m, γsat = 18,5 kN/m³γw = 9,81 kN/m³Cc = 0,2e0 = 0,9Δσ = 70 kPa
Знайти: S(mm)
Показати підказки
Нормально ущільнена: S = Cc·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′f/σ′₀).
Посередині глини: σ′₀ = γ·Hs + (γsat − γw)·H/2.
Cc·H/(1 + e0) = 0,7368 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′f = σ′0 + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Переущільнена глина повторно стискається за Cr до тиску попереднього ущільнення σ′p і лише понад нього йде за Cc. Час: t = Tv·Hdr²/cv, де шлях фільтрації Hdr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.
Ефективне напруження посередині шару глини
Пісок лежить вище рівня ґрунтових вод; нижче глина зважена у воді, тож використовуйте γsat − γw.
σ′0 = 19·4 + (18,5 − 9,81)·3,5 = 106,4 kPa
Кінцеве ефективне напруження
σ′f = 106,4 + 70 = 176,4 kPa
Осідання
S = 0,2·7/(1 + 0,9)·log₁₀(176,4/106,4) = 0,7368·0,2195 = 0,1618 m = 161,8 mm
Відповідь
S = 161,8 mm
Приклад 2Середня
Шар переущільненої глини товщиною 2 m має Cc = 0,5, Cr = 0,02 і e₀ = 1,2. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 50 kPa і тиск попереднього ущільнення 150 kPa. Нова будівля додає 230 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.
Порівняйте кінцеве напруження σ′₀ + Δσ з тиском попереднього ущільнення.
σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > σ′p = 150 kPa.
Розділіть діапазон напружень у точці σ′p: Cr від σ′₀ до σ′p, потім Cc від σ′p до σ′f.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′f = σ′0 + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Переущільнена глина повторно стискається за Cr до тиску попереднього ущільнення σ′p і лише понад нього йде за Cc. Час: t = Tv·Hdr²/cv, де шлях фільтрації Hdr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.
Порівняйте з тиском попереднього ущільнення
σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > 150 kPa
Осідання
Повторне стиснення до σ′p, первинне стиснення понад нього.
S = 0,02·2/(1 + 1,2)·log₁₀(150/50) + 0,5·2/(1 + 1,2)·log₁₀(280/150)
S = 8,675 + 123,2 = 131,9 mm
Відповідь
S = 131,9 mm
Приклад 3Складна
Шар глини товщиною 9,5 m має коефіцієнт консолідації cv = 3 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 60% середньої консолідації фактор часу Tv = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?
Дві дреновані грані: найдовший шлях частинки води — половина шару.
Hdr = 4,75 m.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′f = σ′0 + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Переущільнена глина повторно стискається за Cr до тиску попереднього ущільнення σ′p і лише понад нього йде за Cc. Час: t = Tv·Hdr²/cv, де шлях фільтрації Hdr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.
Шлях фільтрації
Hdr = H/2 = 9,5/2 = 4,75 m
Час
t = Tv·Hdr²/cv = 0,287·4,75²/3 = 2,158 роки
Відповідь
t = 2,158 роки
Запитання й відповіді
Консолідаційне осідання: що це?
Коли ви будуєте на шарі глини, додаткове навантаження стискає глину. Вода виштовхується з пор, і частинки зближуються. Поверхня ґрунту опускається: це консолідаційна осадка.
Глина має дуже малі пори, тож вода виходить повільно. Будівля на глині може осідати роками.
Консолідаційне осідання: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′f = σ′0 + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Переущільнена глина повторно стискається за Cr до тиску попереднього ущільнення σ′p і лише понад нього йде за Cc. Час: t = Tv·Hdr²/cv, де шлях фільтрації Hdr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.
Консолідаційне осідання: які помилки найпоширеніші?
Використовуйте десятковий логарифм log₁₀, а не натуральний ln.
Поділіть на 1 + e₀, а не лише помножте на Cc·H.
Під логарифмом відношення кінцевого напруження до початкового: (σ′₀ + Δσ)/σ′₀, а не Δσ/σ′₀.
Консолідаційне осідання: що ви тренуєте?
Легка: нормально ущільнена глина
Середня: переущільнена глина
Складна: час консолідації
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.