Поперечна сила і згинальний момент: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: епюри поперечних сил і згинальних моментів · епюри Q і M · побудова епюр

Безкоштовні задачі з теми Поперечна сила і згинальний момент з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: зосереджена сила, розподілене навантаження на весь проліт, зосереджена сила + розподілене навантаження.

Безкоштовна задачаЛегка
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена однією зосередженою силою P. Знайдіть поперечну силу Vx безпосередньо праворуч від сили. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 60 kN у 2,5 m
kN
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Поперечна сила і згинальний моментТренуйтеся зараз: Поперечна сила і згинальний моментБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легказосереджена сила
  2. Середнярозподілене навантаження на весь проліт
  3. Складназосереджена сила + розподілене навантаження

Як розв’язувати задачі на тему «Поперечна сила і згинальний момент»

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Типові помилки

  • Враховують навантаження з обох боків перерізу.
  • Використовують неправильне правило знаків для додатних і від’ємних моментів.
  • Відповідають поперечною силою, коли питають про згинальний момент.

Основні формули

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Вивчайте тему «Поперечна сила і згинальний момент» з нуля

Перед цим: Опорні реакції балок

1Що відбувається всередині балки

На уроці про реакції ви знаходили зовнішні сили, що діють на балку. Тепер подивімося всередину: що має витримувати матеріал в одній точці балки?

Уявіть, що балку розпиляли надвоє в якійсь точці. Кожна половина впала б. Щоб утримати її, інша половина має діяти двома внутрішніми зусиллями:

  • поперечна сила V, яка не дає одній стороні ковзати вгору чи вниз відносно іншої (у kN);
  • згинальний момент M, який не дає одній стороні повертатися відносно іншої (у kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Балка, що вигинається усмішкою, з розтягнутим низом, прогинається вниз. Балка, що вигинається насупленням, як балкон, вигинається вгору.

Інженерам потрібен M, бо від нього зростає напруга згину в балці, і V, бо балка не повинна зрізатися біля опор.

Самоперевірка Балка на двох опорах несе навантаження, спрямоване вниз. Яка сторона балки розтягнута?
  1. Верхня: балка вигинається вгору
  2. Жодна, балка лише вкорочується
  3. Нижня: балка прогинається вниз
  4. Обидві однаково

Відповідь: Нижня: балка прогинається вниз. Балка на двох опорах під навантаженням вниз вигинається усмішкою. Нижні волокна подовжуються (розтяг), верхні вкорочуються (стиск).

2Метод перерізів

Щоб знайти V і M на відстані x від A, розріжте балку там і залиште лише частину ліворуч від розрізу. Ця частина сама перебуває в рівновазі.

RA​VMAx

Звичайні правила знаків: сила, спрямована вгору, на лівій частині дає додатну поперечну силу, а момент, що прогинає вниз, додатний. Звідси два короткі рецепти:

  • Поперечна сила: V = RA мінус усі навантаження вниз ліворуч від розрізу.
  • Згинальний момент: M = RA·x мінус, для кожного навантаження ліворуч від розрізу, навантаження, помножене на його відстань до розрізу.

Частина рівномірно розподіленого навантаження ліворуч від розрізу діє як одна сила w·ℓ у своїй середині, так само як на уроці про реакції.

Можна залишити праву частину. Ви отримаєте ті самі V і M, що корисно для перевірки.

Самоперевірка RA = 10 kN. Перше навантаження розташоване за 5 m від A. Який згинальний момент при x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Відповідь: 30 kN·m. Ліворуч від розрізу немає навантажень, тож M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN — це там поперечна сила, а не момент.

3Епюри та максимальний момент

Якщо обчислити V і M для кожного x, вийдуть епюра поперечних сил та епюра згинальних моментів. Їхня форма підпорядковується простим правилам:

  • Між зосередженими силами V стала, а M — пряма лінія.
  • Під рівномірно розподіленим навантаженням V спадає по прямій, а M — крива (парабола).
  • Зосереджена сила змушує V стрибнути на величину цієї сили.
  • M найбільший там, де V змінює знак, проходячи через нуль.

Два результати трапляються так часто, що їх варто знати:

  • Зосереджена сила P посередині прольоту: Mmax = P·L / 4
  • Рівномірно розподілене навантаження w на всьому прольоті: Mmax = w·L² / 8
Самоперевірка Балка на двох опорах із прольотом 6 m несе рівномірно розподілене навантаження 4 kN/m на всьому прольоті. Який найбільший згинальний момент?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Відповідь: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m посередині прольоту. 36 використовує /4 (правило для зосередженої сили); 12 kN — це реакція wL/2.

4Метод крок за кроком

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в перерізі x і залиште ліву частину.
  3. Поперечна сила: V = RA мінус усі навантаження вниз на лівій частині.
  4. Згинальний момент: M = RA·x мінус кожне навантаження на лівій частині, помножене на його відстань до розрізу.
  5. Для максимального моменту: знайдіть, де V = 0, і обчисліть M там.

Намалюйте ліву частину окремим невеликим ескізом. Тоді очевидно, які навантаження враховувати.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Балка на двох опорах із прольотом 6 m несе рівномірно розподілене навантаження 4 kN/m по всій довжині. Знайдіть поперечну силу V і згинальний момент M при x = 2 m від A.

1

Огляньте балку

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Опорні реакції

Повне навантаження — 4 · 6 = 24 kN, посередині. За симетрією кожна опора несе половину:

RA = RB = 12 kN
3

Залиште ліву частину

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

Рівномірно розподілене навантаження на лівій частині — 4 · 2 = 8 kN. Воно діє у своїй середині, за 1 m від розрізу.

4

Поперечна сила

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Згинальний момент

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Воно додатне, тож балка тут прогинається вниз.

6

Перевірте відповідь

Скористайтеся натомість правою частиною: вона має довжину 4 m, з RB = 12 kN і розподіленим навантаженням 16 kN за 2 m від розрізу.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Повна епюра — парабола з вершиною wL²/8 = 18 kN·m посередині прольоту. 16 kN·m при x = 2 m узгоджується.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Відповідь

V = 4 kN і M = 16 kN·m (прогин вниз).

6Типові помилки

  • Враховувати навантаження з обох боків розрізу. Використовуйте лише ту частину, яку ви залишили.
  • Вимірювати плече від A замість розрізу. У M кожна відстань — від навантаження до розрізу.
  • Відповідати V, коли питають M, або навпаки. Перевірте одиницю: kN чи kN·m.
  • Брати все рівномірно розподілене навантаження замість лише частини ліворуч від розрізу.
  • Плутати правила знаків. За звичайних правил балка на двох опорах під навантаженнями вниз має додатні моменти (прогин вниз) усюди.
Самоперевірка Балка на двох опорах довжиною 4 m несе 20 kN посередині прольоту, тож RA = 10 kN. Яким є M при x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Відповідь: 10 kN·m. Ліворуч від розрізу лишається лише RA: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 помилково віднімає навантаження, яке розташоване праворуч від розрізу. 20 kN·m — це PL/4, максимум посередині прольоту. 10 kN — це поперечна сила.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: одна зосереджена сила. Знайдіть M під силою або V поруч із нею. Варіанти використовують консоль, де M найбільший у заделці.
  • Середньо: рівномірно розподілене навантаження на всьому прольоті, як у прикладі. Знайдіть V або M при заданому x, або максимальний момент.
  • Складно: зосереджена сила й рівномірно розподілене навантаження разом або часткове розподілене навантаження. Знайдіть M у перерізі або максимальний момент там, де V = 0.

У деяких варіантах балка має консольний виступ за опорою. Виступ вигинається вгору, тож M там від’ємний.

Завжди починайте з реакцій і запишіть їх на ескізі.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Показати підказки
  1. Піки згинального моменту лежать там, де поперечна сила змінює знак, у жорсткому закладенні або над опорою поруч із консоллю.
  2. Спершу знайдіть реакції опор: R1 = 33,33 kN.
  3. Порівняйте моменти в можливих позначках; найбільша величина — 66,67 kN·m.
Показати відповідь і пояснення

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Відповідь

Позначка B: MB = 66,67 kN·m
Приклад 2Середня
w = 5 kN/mABпереріз0,5 m5,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 0,5 m

Знайти: Mx (kN·m)

Показати підказки
  1. Спочатку знайдіть опорні реакції з рівноваги всієї балки.
  2. Потім розріжте балку в x = 0,5 m і розгляньте лише частину ліворуч від перерізу. Підсумуйте моменти цих сил відносно перерізу.
  3. RA = 15 kN.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15переріз0,5 m5,5 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Відповідь

Mx = 6,875 kN·m
Приклад 3Складна
w = 6 kN/mP = 45 kNABпереріз1,5 m3,5 m1 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 45 kN у 1,5 mw = 6 kN/m від 0 до 6 mx = 5 m

Знайти: Mx (kN·m)

Показати підказки
  1. Спочатку знайдіть опорні реакції з рівноваги всієї балки.
  2. Потім розріжте балку в x = 5 m і розгляньте лише частину ліворуч від перерізу. Підсумуйте моменти цих сил відносно перерізу.
  3. RA = 51,75 kN.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25переріз1,5 m3,5 m1 m

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Відповідь

Mx = 26,25 kN·m

Запитання й відповіді

Поперечна сила і згинальний момент: що це?

На уроці про реакції ви знаходили зовнішні сили, що діють на балку. Тепер подивімося всередину: що має витримувати матеріал в одній точці балки?

Уявіть, що балку розпиляли надвоє в якійсь точці. Кожна половина впала б. Щоб утримати її, інша половина має діяти двома внутрішніми зусиллями:

Поперечна сила і згинальний момент: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Поперечна сила і згинальний момент: які помилки найпоширеніші?
  • Враховують навантаження з обох боків перерізу.
  • Використовують неправильне правило знаків для додатних і від’ємних моментів.
  • Відповідають поперечною силою, коли питають про згинальний момент.
Поперечна сила і згинальний момент: що ви тренуєте?
  • Легка: зосереджена сила
  • Середня: розподілене навантаження на весь проліт
  • Складна: зосереджена сила + розподілене навантаження

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Опорні реакції балок

Далі

Прогин балки

Калькулятори

Калькулятор епюр поперечних сил і згинальних моментівКалькулятор напруження згину (σ = My/I)

Курси з цією темою

СтатикаОпір матеріалівБудівельна механікаПідготовка до іспиту FE MechanicalПідготовка до іспиту FE Civil

Інші теми: Будівництво

Ферма: метод вирізання вузлівПрогин балкиЦентр ваги й момент інерціїСтійкість колонЕфективне напруження в ґрунтіКонсолідаційне осіданняГідростатична силаТечія у відкритих каналах (Маннінг)

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Поперечна сила і згинальний момент» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Поперечна сила і згинальний моментТренуйтеся зараз: Поперечна сила і згинальний моментБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.