Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 50 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2 m від A. Знайдіть згинальний момент M_A у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 3 mP = 35 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 3 m

M_A = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP = 25 kN у 2 mw = 5 kN/m від 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 260 mm, зовнішню висоту H = 400 mm і сталу товщину стінки t = 8 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 260 mmH = 400 mmt = 8 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 200 × 14 mm, стінку висотою 250 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 250 × 22 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 200 × 14 mmстінка: 8 × 250 mmнижня полиця: 250 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 40 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 75 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 75 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 10 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 10 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 4138 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/200000 = 0,004138 = 4138 µε

Відповідь

ε = 4138 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 36,12 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·981748/1,107 × 10⁶ = 70922 N

Напруження

σ₂ = 70922/1963 = 36,12 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 36,12 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,7015 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·251327) = 0,01224 rad

φ = 0,01224·180/π = 0,7015°

Відповідь

φ = 0,7015°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 44,22 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·75)) = 44,22 mm

Відповідь

d = 44,22 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_A = −83,5 kN·m

Залиште частину з вільним кінцем

P: −35·2 = −70 kN·m

w: −3·3²/2 = −13,5 kN·m

M_A = −70 − 13,5 = −83,5 kN·m

Відповідь

M_A = −83,5 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 90 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·2 + 5·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 30 = 45 kN

Де V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (45 − 25)/5 = 4 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 90 kN·m

Відповідь

M_max = 90 kN·m

Це в точці x = 4 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 151,1 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 244 mm, h = 384 mm

A = BH − bh = 260·400 − 244·384 = 10304 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,353 × 10⁸ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(2,353 × 10⁸/10304) = 151,1 mm

Відповідь

r = 151,1 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 147,3 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2800 mm², y = 279 mm

стінка: A = 2000 mm², y = 147 mm

нижня полиця: A = 5500 mm², y = 11 mm

Центр ваги

ȳ = (2800·279 + 2000·147 + 5500·11)/10300 = 110,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 200·14³/12 + 2800·168,7² = 7,977 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·250³/12 + 2000·36,74² = 1,312 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 250·22³/12 + 5500·99,26² = 5,441 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,977 × 10⁷ + 1,312 × 10⁷ + 5,441 × 10⁷

I_x = 1,473 × 10⁸ mm⁴ = 147,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 147,3 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −14,31 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 40 − −70) = −28,61°

Кут на елементі

θ_p = −14,31°

Відповідь

θ_p = −14,31°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 172,9 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 130 + 20·0,1736 + 40·0,9848 = 172,9 MPa

Відповідь

σ_θ = 172,9 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,615 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,615 mm

Відповідь

δ_max = 1,615 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 198 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·15) = 4,854 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,854 × 10⁷/75)^1/3 = 198 mm

Відповідь

h_req = 198 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 19,62 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Відповідь

P_cr = 19,62 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 27,6 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 27,6 mm

Відповідь

d = 27,6 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 217,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials