Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 75 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 12 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 400 mm повертаються один відносно одного на 11,55° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 11,55°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 15 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 3 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mw = 20 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 150 mm і внутрішній діаметр d = 118 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 150 mmd = 118 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 150 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 26,13 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/7,655 × 10⁻⁶ = 26128 N = 26,13 kN

Відповідь

P = 26,13 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 373 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 152,8 MPa

σ₂ = 373 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 373 MPa

Відповідь

σ_max = 373 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: G = 38,99 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 11,55·π/180 = 0,2016 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(2036·0,2016) = 38988 MPa

G = 38,99 GPa

Відповідь

G = 38,99 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 5,018 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·37,5/2,141 × 10⁶ = 5,018 MPa

Відповідь

τ_max = 5,018 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 44,5 kN, R₂ = 28,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 38,5, M_C = 65, M_D = 79,5 kN·m, M_E = 57, M_F = 28,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 79,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 57,6 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 20·4 = 80 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4·2

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 32 = 48 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 48/20 = 2,4 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 48·2,4 − 20·2,4²/2 = 57,6 kN·m

Відповідь

M_max = 57,6 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 47,71 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 6736 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,533 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(1,533 × 10⁷/6736) = 47,71 mm

Відповідь

r = 47,71 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 10,17 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (4200·295 + 3920·140)/8120 = 220,2 mm

верхній край: c = 310 − 220,2 = 89,83 mm

Момент інерції перерізу

I = 140·30³/12 + 4200·74,83² + 14·280³/12 + 3920·80,17² = 7,464 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 150·7,464 × 10⁷/89,83 = 124,6 kN·m

нижній край: M = 30·7,464 × 10⁷/220,2 = 10,17 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 10,17 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 10,17 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −33,02 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 40/98,49 = 0,4061, sin 2θ_s = −90/98,49 = −0,9138

2θ_s = atan2(−90, 40) = −66,04°

Кут на елементі

θ_s = −33,02°

перевірка: θ_s − θ_p = −33,02 − 11,98 = −45°

Відповідь

θ_s = −33,02°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 55 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 45 + 15·0 + −10·−1 = 55 MPa

Відповідь

σ_θ = 55 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 5,669 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 5,669 mm

Відповідь

δ_max = 5,669 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·70000·22,22) = 6,857 × 10⁷ mm⁴

I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 68,57 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 15,99 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15,99 kN

Відповідь

P_cr = 15,99 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 95,14 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 95,14 mm

Відповідь

d = 95,14 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 176,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials