Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 105 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 50 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 75 mm, внутрішній діаметр 56 mm, довжина 3 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 200 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 200 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 2 kN/m від 0 до 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 6 m45 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 250 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 7 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 16 kNa = 7 mL = 8 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,8356 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/200000 = 0,001671 = 1671 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001671·500 mm = 0,8356 mm

Відповідь

δ = 0,8356 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 13,98 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 50000·395841/500560 = 39540 N

Напруження

σ₂ = 39540/2827 = 13,98 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 13,98 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,6176 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·3000/(26000·2,141 × 10⁶) = 0,01078 rad

φ = 0,01078·180/π = 0,6176°

Відповідь

φ = 0,6176°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 18,9 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·60)) = 18,9 mm

Відповідь

d = 18,9 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 2,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 5·0,5 − 2·0,5·0,25 = 2,25 kN·m

Відповідь

M_x = 2,25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 27 kN, R₂ = 63 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 27, M_C = 9, M_D = −9, M_E = −27, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −45 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 52,5 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стінка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·267,5 + 3120·130)/7620 = 211,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 211,2)² = 1,435 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 211,2)² = 3,815 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,435 × 10⁷ + 3,815 × 10⁷ = 5,25 × 10⁷ mm⁴ = 52,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 52,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 99,32 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

стінка: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·167,5 + 1600·80)/4600 = 137,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·15³/12 + 3000·(167,5 − 137,1)² = 2,835 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·160³/12 + 1600·(80 − 137,1)² = 8,624 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,835 × 10⁶ + 8,624 × 10⁶ = 1,146 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 175 − 137,1 = 37,93 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·37,93/1,146 × 10⁷ = 99,32 MPa

Відповідь

σ_верх = 99,32 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 50,99 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((120 − 20)/2)² + −10²) = 50,99 MPa

Відповідь

τ_max = 50,99 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,301

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −5 MPa, R = 62,65 MPa

σ₁ = 57,65 MPa, σ₂ = −67,65 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(57,65² − 57,65·(−67,65) + (−67,65)²) = 108,6 MPa

n = 250/108,6 = 2,301

Відповідь

n = 2,301

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 18,56 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 16000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 16000·7000²·1000²/(3·1,76 × 10¹²·8000) = 18,56 mm

Відповідь

δ_P = 18,56 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 205,9 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,091 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,091 × 10⁸/150)^1/3 = 205,9 mm

Відповідь

h_req = 205,9 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,67 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24,67 kN

Відповідь

P_cr = 24,67 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,69 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials