Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 200 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 200 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 50 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,8 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 10 kN/m від 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть відстань x₀ від A до перерізу, де згинальний момент найбільший.

L = 10 mw = 10 kN/m від 0 до 7 m

x₀ = m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 15 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 15 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2312 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6,919 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 200000·800/6,919 × 10⁸ = 0,2312 mm

Відповідь

δ = 0,2312 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 12,93 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·490874/773617 = 25381 N

Напруження

σ₂ = 25381/1963 = 12,93 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 12,93 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,347 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad

φ = 0,02351·180/π = 1,347°

Відповідь

φ = 1,347°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 30,56 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 200 = 550 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Відповідь

τ_max = 30,56 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 15 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 20·3 − 10·3·1,5 = 15 kN·m

Відповідь

M_x = 15 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x₀ = 4,55 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·7·3,5

R_B = 245/10 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 24,5 = 45,5 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45,5/10 = 4,55 m

Відповідь

x₀ = 4,55 m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 47,8 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стінка: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·247,5 + 4320·120)/7020 = 169 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·15³/12 + 2700·(247,5 − 169)² = 1,667 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·240³/12 + 4320·(120 − 169)² = 3,112 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,667 × 10⁷ + 3,112 × 10⁷ = 4,78 × 10⁷ mm⁴ = 47,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 47,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 34,52 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стінка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·205 + 3600·100)/6200 = 144 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(205 − 144)² = 9,686 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 144)² = 1,898 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,686 × 10⁶ + 1,898 × 10⁷ = 2,867 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 210 − 144 = 65,97 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·65,97/2,867 × 10⁷ = 34,52 MPa

Відповідь

σ_верх = 34,52 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 76,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −20/22,36 = −0,8944, sin 2θ_s = −(−10)/22,36 = 0,4472

2θ_s = atan2(10, −20) = 153,4°

Кут на елементі

θ_s = 76,72°

перевірка: θ_s − θ_p = 76,72 − (−58,28) = 135°

Відповідь

θ_s = 76,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 36,63 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 85 + 5·0,1736 + −50·0,9848 = 36,63 MPa

Відповідь

σ_θ = 36,63 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 27,78 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 27,78 mm

Відповідь

δ_max = 27,78 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 231,6 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·15) = 1,294 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,294 × 10⁸/125)^1/3 = 231,6 mm

Відповідь

h_req = 231,6 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,406 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4200² = 4406 N = 4,406 kN

Відповідь

P_cr = 4,406 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 27,89 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 27,89 mm

Відповідь

d = 27,89 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 179,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials