Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 65 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 115 kNділянка 1: Ø25 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 400 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 200 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 4 m40 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 12 kN/m від 7 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 195 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 300 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 10 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 18 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 24,83 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/100000 = 0,008276 = 8276 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,008276·3000 mm = 24,83 mm

Відповідь

δ = 24,83 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,401 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 234,3·1000/200000 = 1,171 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 366,1·1000/70000 = 5,229 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,401 mm

Відповідь

δ = 6,401 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,437 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Відповідь

φ = 1,437°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 15,92 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 400 = −200 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Відповідь

τ_max = 15,92 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 33,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 26,67, M_C = 53,33, M_D = 80 kN·m, M_E = 66,67, M_F = 33,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 80 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 39,01 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, прикладена в x̄ = 8,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·3·8,5

R_B = 306/10 = 30,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 30,6 = 5,4 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 7) = 0

x₀ = 7 + 5,4/12 = 7,45 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 7)²/2 = 5,4·7,45 − 12·0,45²/2 = 39,01 kN·m

Відповідь

M_max = 39,01 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·150 − 2827·195)/(36000 − 2827) = 146,2 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·300³/12 + 36000·3,836² = 270,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·48,84² = 7,379 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 52,63 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 3000·105)/(30000 − 3000) = 71,67 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·3,333² = 56,58 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·50³/12 + 3000·33,33² = 3,958 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 52,63 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 52,63 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 52,36 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 60 MPa, R = √((−40)² + (−20)²) = 44,72 MPa

σ₁ = 104,7 MPa, σ₂ = 15,28 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(89,44, 104,7, 15,28)/2 = 52,36 MPa

Відповідь

τ_abs = 52,36 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,662

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 65 MPa, R = 53,15 MPa

σ₁ = 118,2 MPa, σ₂ = 11,85 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(118,2² − 118,2·11,85 + 11,85²) = 112,7 MPa

n = 300/112,7 = 2,662

Відповідь

n = 2,662

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 38,38 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 10000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 10000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 20,2 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 18,18 mm

Додайте

δ = 20,2 + 18,18 = 38,38 mm

Відповідь

δ = 38,38 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,694 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 18000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·2,4 × 10¹³) = 1 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 0,6944 mm

Додайте

δ_max = 1 + 0,6944 = 1,694 mm

Відповідь

δ_max = 1,694 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 128,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128,5 kN

Відповідь

P_cr = 128,5 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 5,64 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/10 = 350

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/350² = 5,64 MPa

Відповідь

σ_cr = 5,64 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials