Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 75 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 55 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 2,5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mM₀ = 55 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 50 kN у 4 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 70 MPa і σᵧ = −50 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 120 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δ_max посередині прольоту.

P = 18 kNL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 39,33 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/5,085 × 10⁻⁶ = 39332 N = 39,33 kN

Відповідь

P = 39,33 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 377 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0008) = 0,0008 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008·4,712 × 10⁸ = 376991 N = 377 kN

Відповідь

P_max = 377 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5836 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Відповідь

φ = 0,5836°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 43,28 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Відповідь

d = 43,28 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −27,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/5 = 11 kN (вгору)

R_A = −R_B = −11 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише R_A.

M_x = R_A·a = −11·2,5 = −27,5 kN·m

Відповідь

M_x = −27,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 140 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 5·8·4

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 45 = 45 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 45·4 − 5·4·2 = 140 kN·m

Відповідь

M_x = 140 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 65,33 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1257·70)/(20000 − 1257) = 102 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−2,011² = 66,75 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−32,01² = 1,413 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 65,33 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 65,33 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 26,12 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стінка: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·245 + 2880·120)/5080 = 174,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·10³/12 + 2200·(245 − 174,1)² = 1,107 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 174,1)² = 2,226 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,107 × 10⁷ + 2,226 × 10⁷ = 3,333 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 174,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·174,1/3,333 × 10⁷ = 26,12 MPa

Відповідь

σ_низ = 26,12 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 92,2 MPa

Потрібний радіус

C = (70 + (−50))/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 10 = 110 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 60²) = 92,2 MPa

Відповідь

τ_xy = 92,2 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,889

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 70 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 128,3 MPa, σ₂ = 11,69 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(128,3² − 128,3·11,69 + 11,69²) = 122,9 MPa

n = 355/122,9 = 2,889

Відповідь

n = 2,889

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,11 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 1,11 mm

Відповідь

δ_max = 1,11 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 19,17 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 18000 N, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 9,583 mm

Додайте обидві сили

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 19,17 mm

Відповідь

δ_max = 19,17 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,606 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4,606 kN

Відповідь

P_cr = 4,606 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 9,715 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Відповідь

σ_cr = 9,715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials