Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 30 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 85 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 30 kW при 1000 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 6 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 55 kN у 2,5 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 80 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 60 × 50 mmцентр отвору: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 15 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 60° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 15 mmp = 2,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 12 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 130 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 130 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,746 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/100000 = 0,001492 = 1492 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001492·500 mm = 0,746 mm

Відповідь

δ = 0,746 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 422,8 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 422,8 MPa

Відповідь

σ_max = 422,8 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,01 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·38350) = 0,2445 rad

φ = 0,2445·180/π = 14,01°

Відповідь

φ = 14,01°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 53,77 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·50)) = 30,79 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 53,77 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(30,79, 53,77) = 53,77 mm

Відповідь

d = 53,77 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 25,83 kN, R₂ = 19,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 51,67, M_C = 83,33, M_D = 115 kN·m, M_E = 76,67, M_F = 38,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 115 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 51,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2,5 + 5·6·3

R_B = 227,5/6 = 37,92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 37,92 = 47,08 kN

Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 47,08·4,5 − 55·(4,5 − 2,5) − 5·4,5·2,25 = 51,25 kN·m

Відповідь

M_x = 51,25 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 2827·70)/(20000 − 2827) = 104,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 3000·80)/(24000 − 3000) = 102,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,857² = 80,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·50³/12 + 3000·−22,86² = 2,192 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −45 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 20 − 20) = −90°

Кут на елементі

θ_p = −45°

Відповідь

θ_p = −45°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 52,08 MPa

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2,5·500/15 = 83,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41,67 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 41,67·sin²60° + 83,33·cos²60° = 52,08 MPa

Відповідь

σ_n = 52,08 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 2,857 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 12000·2000³/(3·1,12 × 10¹³) = 2,857 mm

Відповідь

δ_P = 2,857 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,67 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 0,9375 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 0,7324 mm

Додайте

δ_max = 0,9375 + 0,7324 = 1,67 mm

Відповідь

δ_max = 1,67 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 34,88 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Відповідь

P_cr = 34,88 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 63,34 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,34 mm

Відповідь

d = 63,34 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 126,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials