Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
100 kNØ20110 GPaØ100/70500 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 100 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 100 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
40 kN12400 mm200 mmØ40Ø60σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
d = 15 mmT = 75 N·m200 mmφ = 6,65°

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 75 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 6,65° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 6,65°
G = GPa
4.Кручення валівСкладна
d = 20 mmT0​ = 750 N·mACBa = 2,5 mb = 0,5 m

Суцільний вал (сталь) діаметром 20 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2,5 m від A і 0,5 m від B, прикладено обертовий момент 750 N·m. Знайдіть кут повороту φC перерізу C у градусах.

d = 20 mmT0 = 750 N·ma = 2,5 mb = 0,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 8 kN/mABпереріз1,5 m4,5 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 8 kN/m від 0 до 6 mx = 1,5 m
Vx = kN
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 6 kN/mP = 50 kNABпереріз2,5 m1 m1,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 50 kN у 3,5 mw = 6 kN/m від 0 до 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
300102208xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
1601024020xM = 10 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 240 mmM = 10 kN·m
σверх = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 120σy​ = 30τxy​ = −30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.

σx = 120 MPaσy = 30 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
55°D = 400 mm, t = 5 mm, p = 1,2 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 400 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 55° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σn, що діє поперек зварного шва.

D = 400 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 55°
σn = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 6 kN/mδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
P = 50 kNAB2 m2 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.

L = 4 mP = 50 kN у 2 m
RB = kN
13.Стійкість колонСередня
PL = 2 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 125 kNL = 2 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 125 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 125 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,09932 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 100000·500/5,034 × 10⁸ = 0,09932 mm

Відповідь

δ = 0,09932 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 9,794 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 40000·1,414 × 10⁶/2,042 × 10⁶ = 27692 N

Напруження

σ2 = 27692/2827 = 9,794 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 9,794 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: G = 26 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 6,65·π/180 = 0,1161 rad

Модуль зсуву

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,1161) = 26003 MPa
G = 26 GPa

Відповідь

G = 26 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: φC = 14,25 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0,5/3 = 125 N·m
TB = 750·2,5/3 = 625 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає TA.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 125000·2500/(80000·15708) = 0,2487 rad = 14,25°

Відповідь

φC = 14,25°
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = 12 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24переріз1,5 m4,5 m

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 24 − 8·1,5 = 12 kN

Відповідь

Vx = 12 kN
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 56,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·3,5 + 6·5·2,5
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​ = 30RB​ = 50переріз2,5 m1 m1,5 m

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 30·2,5 − 6·2,5·1,25 = 56,25 kN·m

Відповідь

Mx = 56,25 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 21,79 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
стінка: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·225 + 1760·110)/4760 = 182,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·10³/12 + 3000·(225 − 182,5)² = 5,449 × 10⁶ mm⁴
стінка: 8·220³/12 + 1760·(110 − 182,5)² = 1,634 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,449 × 10⁶ + 1,634 × 10⁷ = 2,179 × 10⁷ mm⁴ = 21,79 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 21,79 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σверх = 23,62 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
стінка: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·245 + 4800·120)/6400 = 151,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·10³/12 + 1600·(245 − 151,3)² = 1,408 × 10⁷ mm⁴
стінка: 20·240³/12 + 4800·(120 − 151,3)² = 2,773 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,408 × 10⁷ + 2,773 × 10⁷ = 4,18 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 250 − 151,3 = 98,75 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·98,75/4,18 × 10⁷ = 23,62 MPa

Відповідь

σверх = 23,62 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 54,08 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Радіус кола Мора

τmax = R = √(((120 − 30)/2)² + −30²) = 54,08 MPa

Відповідь

τmax = 54,08 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σn = 31,9 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1,2·200/5 = 48 MPa
σa = pr/(2t) = 24 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σn = 24·sin²55° + 48·cos²55° = 31,9 MPa

Відповідь

σn = 31,9 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,272 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,272 mm

Відповідь

δmax = 1,272 mm
12.Прогин балки

Відповідь: RB = 15,63 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Відповідь

RB = 15,63 kN
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 37,85 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Відповідь

Pcr = 37,85 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 104,2 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,2 mm

Відповідь

d = 104,2 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 153,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials