Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 50 kNділянка 1: Ø40 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 10 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 45 kN у 2 mw = 4 kN/m від 0 до 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову розтягувальну силу 80 kN разом з обертовим моментом 1000 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmF = 80 kNT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 27 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 19,96 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/1,503 × 10⁻⁵ = 19958 N = 19,96 kN

Відповідь

P = 19,96 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,421 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·500/70000 = 0,2842 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·500/70000 = 1,137 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,421 mm

Відповідь

δ = 1,421 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,155 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Відповідь

φ = 2,155°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 29,6 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Відповідь

d = 29,6 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 15 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 25 − 10·1 = 15 kN

Відповідь

V_x = 15 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 76 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 4·6·3

R_B = 162/6 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 27 = 42 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 42·2 − 4·2·1 = 76 kN·m

Відповідь

M_x = 76 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 2827·96)/(36000 − 2827) = 122 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,046² = 173 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−26,05² = 2,554 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 329,2 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

стінка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·105 + 1400·50)/3800 = 84,74 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·10³/12 + 2400·(105 − 84,74)² = 1,005 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 84,74)² = 2,856 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,005 × 10⁶ + 2,856 × 10⁶ = 3,861 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 84,74 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·84,74/3,861 × 10⁶ = 329,2 MPa

Відповідь

σ_низ = 329,2 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 40,27 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 120 − 100) = 80,54°

Кут на елементі

θ_p = 40,27°

Відповідь

θ_p = 40,27°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 196,9 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 80000/(π·30²/4) = 80000/706,9 = 113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188,6 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 56,59 MPa

R = √(56,59² + 188,6²) = 196,9 MPa

Відповідь

τ_max = 196,9 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 14,06 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 14,06 mm

Відповідь

δ_max = 14,06 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 3,225 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2500³/(48·5,88 × 10¹²) = 1,495 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,73 mm

Додайте

δ_max = 1,495 + 1,73 = 3,225 mm

Відповідь

δ_max = 3,225 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 19,99 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1500² = 19991 N = 19,99 kN

Відповідь

P_cr = 19,99 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 83,73 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 83,73 mm

Відповідь

d = 83,73 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 200,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials