Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 15 kNділянка 1: Ø35 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 3 kN/m від 0 до 4 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 12 m40 kN @ 6 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає осьову стискальну силу 110 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 20 mmF = −110 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 4 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 39,27 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/6,366 × 10⁻⁶ = 39270 N = 39,27 kN

Відповідь

P = 39,27 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,852 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·1500/117000 = 0,1999 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132,6·2000/100000 = 2,653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,852 mm

Відповідь

δ = 2,852 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 4,597 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·38350) = 0,08023 rad

φ = 0,08023·180/π = 4,597°

Відповідь

φ = 4,597°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 50,93 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 2000 = −1250 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·50³) = 50,93 MPa

Відповідь

τ_max = 50,93 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −4,5 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 6 − 3·3,5 = −4,5 kN

Відповідь

V_x = −4,5 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 9 kN, R₂ = 129 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 6, M_C = −12, M_D = −54, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −200 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 25,35 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стінка: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·230 + 1760·110)/6160 = 195,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·20³/12 + 4400·(230 − 195,7)² = 5,319 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·220³/12 + 1760·(110 − 195,7)² = 2,003 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,319 × 10⁶ + 2,003 × 10⁷ = 2,535 × 10⁷ mm⁴ = 25,35 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 25,35 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 40,04 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

стінка: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·292,5 + 2240·140)/4740 = 220,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·25³/12 + 2500·(292,5 − 220,4)² = 1,311 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·280³/12 + 2240·(140 − 220,4)² = 2,913 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,311 × 10⁷ + 2,913 × 10⁷ = 4,224 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 305 − 220,4 = 84,57 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·84,57/4,224 × 10⁷ = 40,04 MPa

Відповідь

σ_верх = 40,04 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 76,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −50 − −10) = 153,4°

Кут на елементі

θ_p = 76,72°

Відповідь

θ_p = 76,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 61,53 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −110000/(π·20²/4) = −110000/314,2 = −350,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −175,1 MPa

R = √((−175,1)² + 159,2²) = 236,6 MPa

σ₁ = C + R = 61,53 MPa

σ₂ = C − R = −411,7 MPa

Відповідь

σ₁ = 61,53 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 53,33 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 53,33 mm

Відповідь

δ = 53,33 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 6 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·4/8 = 6 kN

Відповідь

R_B = 6 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 167,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/3500² = 167850 N = 167,9 kN

Відповідь

P_cr = 167,9 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 26,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials