Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 16 mmМідь2 mP = 40 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 35 mmСталь1 mØ 16 mmМідь2 mP = 25 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 25 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
d1​ = 50 mmd2​ = 40 mmT = 100 N·mABC1,5 m1,5 m

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 50 mm і довжину 1,5 m; ділянка BC має діаметр 40 mm і довжину 1,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 100 N·m. Знайдіть кут закручування φC кінця C у градусах.

T = 100 N·md1 = 50 mm, L1 = 1,5 md2 = 40 mm, L2 = 1,5 mG = 26 GPa
φC = °
4.Кручення валівСкладна
d = 50 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1 mb = 2,5 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1 m від A і 2,5 m від B, прикладено обертовий момент 400 N·m. Знайдіть кут повороту φC перерізу C у градусах.

d = 50 mmT0 = 400 N·ma = 1 mb = 2,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 65 kNP2​ = 40 kNAB1,5 m2,5 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 5 mP1 = 65 kN у 1,5 mP2 = 40 kN у 4 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 4 kN/mP = 30 kNABпереріз0,5 m1,5 m8 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 30 kN у 2 mw = 4 kN/m від 0 до 10 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
2602524018xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2803026012xдодатний Mрозміри в mm

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 100 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент Mallow, який може витримати балка.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 260 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 140τxy​ = −40MPa

У точці σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θs у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σx = 140 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​τxy​поверхня вала

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає осьову розтягувальну силу 70 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τmax.

d = 20 mmF = 70 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 12 kN/mABθ3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогин балкиСкладна
w = 12 kN/mδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 10 kNL = 5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 10 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 10 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1700 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/117000 = 0,0017 = 1700 µε

Відповідь

ε = 1700 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,255 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 25,98 MPa
σ2 = 124,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 25,98·1000/200000 = 0,1299 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 124,3·2000/117000 = 2,125 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,255 mm

Відповідь

δ = 2,255 mm
3.Кручення валів

Відповідь: φC = 1,854 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 100000·1500/(26000·613592) = 0,009402 rad
φBC = 100000·1500/(26000·251327) = 0,02296 rad

Повний кут закручування

φC = 0,009402 + 0,02296 = 0,03236 rad = 1,854°

Відповідь

φC = 1,854°
4.Кручення валів

Відповідь: φC = 1,026 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·2,5/3,5 = 285,7 N·m
TB = 400·1/3,5 = 114,3 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає TA.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 285714·1000/(26000·613592) = 0,01791 rad = 1,026°

Відповідь

φC = 1,026°
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 80,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·5 = 65·1,5 + 40·4
RB = 257,5/5 = 51,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 51,5 = 53,5 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·1,5 = 53,5·1,5 = 80,25 kN·m
під P2: M = RB·1 = 51,5·1 = 51,5 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 80,25 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 80,25 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 21,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·2 + 4·10·5
RB = 260/10 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 26 = 44 kN
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​ = 44RB​ = 26переріз0,5 m1,5 m8 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 44·0,5 − 4·0,5·0,25 = 21,5 kN·m

Відповідь

Mx = 21,5 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 66,64 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
стінка: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·252,5 + 4320·120)/10820 = 199,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·25³/12 + 6500·(252,5 − 199,6)² = 1,853 × 10⁷ mm⁴
стінка: 18·240³/12 + 4320·(120 − 199,6)² = 4,811 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,853 × 10⁷ + 4,811 × 10⁷ = 6,664 × 10⁷ mm⁴ = 66,64 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 66,64 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Mallow = 9,805 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (8400·275 + 3120·130)/11520 = 235,7 mm
верхній край: c = 290 − 235,7 = 54,27 mm

Момент інерції перерізу

I = 280·30³/12 + 8400·39,27² + 12·260³/12 + 3120·105,7² = 6,604 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 100·6,604 × 10⁷/54,27 = 121,7 kN·m
нижній край: M = 35·6,604 × 10⁷/235,7 = 9,805 kN·m

Визначальне значення

Mallow = min = 9,805 kN·m (нижній край)

Відповідь

Mallow = 9,805 kN·m
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θs = −59,87 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θs = −40/80,62 = −0,4961, sin 2θs = −70/80,62 = −0,8682
2θs = atan2(−70, −40) = −119,7°

Кут на елементі

θs = −59,87°
перевірка: θs − θp = −59,87 − (−14,87) = −45°

Відповідь

θs = −59,87°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 194,3 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Напруження на поверхні

σ = F/A = 70000/(π·20²/4) = 70000/314,2 = 222,8 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa
στxyCτmax​

Коло Мора

C = σ/2 = 111,4 MPa
R = √(111,4² + 159,2²) = 194,3 MPa

Відповідь

τmax = 194,3 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,01607 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 12·3000³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,01607 rad

Відповідь

θA = 0,01607 rad

Це 0,9208°.

12.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,44 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 8,721 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Відповідь

Pcr = 8,721 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 48,49 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 48,49 mm

Відповідь

d = 48,49 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 206,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials