Осьове напруження й деформація
- Нормальне напруження
- σ = F/A
- Деформація
- ε = ΔL/L
- Закон Гука
- σ = E·ε
- Видовження
- ΔL = FL/(EA)
- Температурна деформація
- εT = α·ΔT
Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Кручення валів
- Дотичне напруження
- τ = T·r/J
- Суцільний вал
- J = πd⁴/32
- Порожнистий вал
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Кут закручування
- φ = TL/(GJ)
- Потужність
- P = T·ω = 2πnT/60
Метод
- Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
- Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
- Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
- Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Поперечна сила і згинальний момент
- Поперечна сила і момент
- V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
- Напруження згину
- σ = M·y/I
- Прямокутник
- I = bh³/12
- Момент опору перерізу
- W = I/ymax
- Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
- Mmax = wL²/8
Метод
- Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
- Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
- Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
- Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
- Центр ваги
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Прямокутник
- I = bh³/12
- Теорема про паралельне перенесення осей
- I = Ic + A·d²
- Складений переріз
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Коло Мора й перетворення напружень
- Центр
- C = (σx + σy)/2
- Радіус
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Головні напруження
- σ1,2 = C ± R
- Головний напрямок
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Похила площадка
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Метод
- Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
- Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
- Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Прогин балки
- Зосереджена сила посередині прольоту
- δ = PL³/(48EI)
- Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Консоль, сила на кінці
- δ = PL³/(3EI)
- Консоль, рівномірне навантаження
- δ = wL⁴/(8EI)
- Метод накладання
- δ = δ1 + δ2
Стійкість колон
- Критична сила Ейлера
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Коефіцієнт розрахункової довжини
- K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
- Критичне напруження
- σcr = Pcr/A
- Гнучкість
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Задачі для практики
1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.
P = 80 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.
ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Суцільний вал має передавати 75 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть поперечну силу Vx безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5,5 mP1 = 40 kN у 2 mP2 = 50 kN у 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m
Vx = kN
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
40 kN @ 0 m25 kN @ 12 m10 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
Пластина 100 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 150 × 16 mm, стінку висотою 270 mm і товщиною 10 mm та нижню полицю 180 × 12 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
верхня полиця: 150 × 16 mmстінка: 10 × 270 mmнижня полиця: 180 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −10 MPa, σz = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τabs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).
σx = 100 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.
σx = 50 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Прогин балкиСкладна
Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.
w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.
L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm
σcr = MPa
3Розчини
1.Осьове напруження й деформація
Відповідь: δ = 0,06657 mm
Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.
Площі
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
Сумарна осьова жорсткість
ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5027 = 6,008 × 10⁸ N
Вкорочення
δ = 80000·500/6,008 × 10⁸ = 0,06657 mm
Відповідь
δ = 0,06657 mm
2.Осьове напруження й деформація
Відповідь: σ2 = 55,7 MPa
Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.
Жорсткості
k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm
Частка ділянки 2
F2 = 100000·293215/418879 = 70000 N
Напруження
σ2 = 70000/1257 = 55,7 MPa (стиск)
Відповідь
σ2 = 55,7 MPa
3.Кручення валів
Відповідь: φ = 6,928 °
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Кут закручування
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·79522) = 0,1209 rad
φ = 0,1209·180/π = 6,928°
Відповідь
φ = 6,928°
4.Кручення валів
Відповідь: d = 31,89 mm
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Крутний момент
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m
Діаметр за допустимим напруженням
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm
Відповідь
d = 31,89 mm
На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.
5.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Vx = −38,75 kN
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 50·5,5
RB = 355/4 = 88,75 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 88,75 = 1,25 kN
Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину
Vx = RA − P1 = 1,25 − 40 = −38,75 kN
Відповідь
Vx = −38,75 kN
6.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: E (x = 8 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 66,67 kN, R2 = 58,33 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = −80, MC = −46,67, MD = −53,33, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0
Відповідь
Позначка E: ME = −100 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 27,3 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (15000·75 − 1257·97,5)/(15000 − 1257) = 72,94 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
100·150³/12 + 15000·2,057² = 28,19 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·40⁴/64 + 1257·24,56² = 0,8835 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 27,3 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 27,3 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 108,3 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Розділіть на три прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
верхня полиця: A = 2400 mm², y = 290 mm
стінка: A = 2700 mm², y = 147 mm
нижня полиця: A = 2160 mm², y = 6 mm
Центр ваги
ȳ = (2400·290 + 2700·147 + 2160·6)/7260 = 152,3 mm
Теорема про паралельне перенесення осей
верхня полиця: 150·16³/12 + 2400·137,7² = 4,554 × 10⁷ mm⁴
стінка: 10·270³/12 + 2700·5,322² = 1,648 × 10⁷ mm⁴
нижня полиця: 180·12³/12 + 2160·146,3² = 4,627 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,554 × 10⁷ + 1,648 × 10⁷ + 4,627 × 10⁷
Ix = 1,083 × 10⁸ mm⁴ = 108,3 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 108,3 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τabs = 85,59 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σmax − σmin)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.
Головні напруження в площині
C = 15 MPa, R = √(85² + (−10)²) = 85,59 MPa
σ1 = 100,6 MPa, σ2 = −70,59 MPa, σz = 0
Найбільше з трьох кіл
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(171,2, 100,6, 70,59)/2 = 85,59 MPa
Відповідь
τabs = 85,59 MPa
Тут σ₁ і σ₂ мають протилежні знаки, тож максимум у площині R є й абсолютним максимумом.
10.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: σθ = 130,8 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Формула перетворення
σθ = 75 + −25·−0,5 + 50·0,866 = 130,8 MPa
Відповідь
σθ = 130,8 MPa
11.Прогин балки
Відповідь: δ = 64,59 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Узгоджені одиниці
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²
Прогин
δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 64,59 mm
Відповідь
δ = 64,59 mm
12.Прогин балки
Відповідь: hreq = 239,9 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Узгоджені одиниці
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
w = 1,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
Обмеження прогину
δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm
Потрібний момент інерції
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,151 × 10⁸ mm⁴
Потрібна висота
bh³/12 = Ireq → h = (12·1,151 × 10⁸/100)1/3 = 239,9 mm
Відповідь
hreq = 239,9 mm
На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.
13.Стійкість колон
Відповідь: Pcr = 3,052 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Розрахункова довжина
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Критична сила
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN
Відповідь
Pcr = 3,052 kN
14.Стійкість колон
Відповідь: σcr = 47,98 MPa
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Радіус інерції і гнучкість
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/6,25 = 120
Критичне напруження
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa
Відповідь
σcr = 47,98 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials