Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 100 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 60 mm, внутрішній діаметр 42 mm, довжина 0,8 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 750 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mP₁ = 35 kN у 2 mP₂ = 65 kN у 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 6 m30 kN @ 1 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 270 mm і внутрішній діаметр d = 262 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 270 mmd = 262 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 195 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmвиріз: 60 × 40 mmцентр отвору: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 4 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 29 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 83,27 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/6,004 × 10⁻⁶ = 83271 N = 83,27 kN

Відповідь

P = 83,27 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 16,32 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 203,7·1500/100000 = 3,056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884,2·1500/100000 = 13,26 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 16,32 mm

Відповідь

δ = 16,32 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,368 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Кут закручування

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·800/(26000·966855) = 0,02387 rad

φ = 0,02387·180/π = 1,368°

Відповідь

φ = 1,368°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 43,28 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Відповідь

d = 43,28 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 36,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·2 + 65·9

R_B = 655/8 = 81,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 81,88 = 18,13 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·2 = 18,13·2 = 36,25 kN·m

Відповідь

M_x = 36,25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 37 kN, R₂ = 103 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 32, M_C = 24, M_D = 6, M_E = −22, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −60 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 94,06 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 3343 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,957 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(2,957 × 10⁷/3343) = 94,06 mm

Відповідь

r = 94,06 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 332 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 2400·195)/(45000 − 2400) = 147,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·2,535² = 337,8 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·40³/12 + 2400·47,54² = 5,743 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 332 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 332 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 82,98 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −80 − 0) = 166°

Кут на елементі

θ_p = 82,98°

Відповідь

θ_p = 82,98°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 132 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 100 + 60·0,866 + −40·0,5 = 132 MPa

Відповідь

σ_θ = 132 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 1,046 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·2000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 1,046 mm

Відповідь

δ_P = 1,046 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 3,8 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 29000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,8 mm

Відповідь

δ_max = 3,8 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 65,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1250² = 65797 N = 65,8 kN

Відповідь

P_cr = 65,8 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 5,483 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Відповідь

σ_cr = 5,483 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Кручення валів

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Центр ваги й момент інерції

Коло Мора й перетворення напружень

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Площі

Податливості

Навантаження

Відповідь

Однакова сила в обох ділянках

Додайте видовження ділянок

Відповідь

Полярний момент інерції

Кут закручування

Відповідь

Крутний момент

Діаметр за допустимим напруженням

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Згинальний момент у кожній позначці

Відповідь

Площа нетто і момент інерції нетто

Радіус інерції

Відповідь

Центр ваги

Суцільна пластина відносно ȳ

Отвір відносно ȳ

Відніміть

Відповідь

Кут на колі

Кут на елементі

Відповідь

Формула перетворення

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин під силою

Відповідь

Узгоджені одиниці

Положення максимуму

Максимальний прогин

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Найменший момент інерції

Радіус інерції і гнучкість

Критичне напруження

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину