Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 10 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 400 mm повертаються один відносно одного на 11,67° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 10 mmL = 400 mmφ = 11,67°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 75 kW при 1450 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mP₁ = 55 kN у 3 mP₂ = 15 kN у 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 0 m30 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 200 mm і товщиною 22 mm, повну висоту 400 mm і стінку товщиною 8 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 200 mmH = 400 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 40 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент M_allow, який може витримати балка (вкажіть його величину).

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає згинальний момент 100 N·m разом з обертовим моментом 1500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 5 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 26 kNa = 5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 110,9 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/2,255 × 10⁻⁶ = 110880 N = 110,9 kN

Відповідь

P = 110,9 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 10,74 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·494801/651880 = 30361 N

Напруження

σ₂ = 30361/2827 = 10,74 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 10,74 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: G = 80,02 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 11,67·π/180 = 0,2037 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(981,7·0,2037) = 80015 MPa

G = 80,02 GPa

Відповідь

G = 80,02 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 43,58 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·40·0,7599)) = 43,58 mm

d_i = 0,7·43,58 = 30,5 mm

Відповідь

d_o = 43,58 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 39,77 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 97,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·3 + 15·9

R_B = 300/8 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37,5 = 32,5 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·3 = 32,5·3 = 97,5 kN·m

Відповідь

M_x = 97,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −46,67, M_D = −53,33, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −60 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 344,8 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 400 − 2·22 = 356 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·400³ − 192·356³)/12

I_x = 3,448 × 10⁸ mm⁴ = 344,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 344,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 21,39 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (6600·255 + 2880·120)/9480 = 214 mm

верхній край: c = 270 − 214 = 56,01 mm

Момент інерції перерізу

I = 220·30³/12 + 6600·41,01² + 12·240³/12 + 2880·93,99² = 5,086 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Від’ємний момент: верх розтягнутий, низ стиснутий.

верхній край: M = 40·5,086 × 10⁷/56,01 = 36,32 kN·m

нижній край: M = 90·5,086 × 10⁷/214 = 21,39 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 21,39 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 21,39 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 46,1 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((60 − −10)/2)² + 30²) = 46,1 MPa

Відповідь

τ_max = 46,1 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 283,6 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 18,86 MPa

R = √(18,86² + 282,9²) = 283,6 MPa

Відповідь

τ_max = 283,6 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 52,99 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 26000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·5000²·3000²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 52,99 mm

Відповідь

δ_P = 52,99 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,996 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·1500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 2,663 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·1500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 0,3329 mm

Додайте

δ_max = 2,663 + 0,3329 = 2,996 mm

Відповідь

δ_max = 2,996 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 12,21 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12,21 kN

Відповідь

P_cr = 12,21 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 3,084 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Відповідь

σ_cr = 3,084 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Кручення валів

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Центр ваги й момент інерції

Коло Мора й перетворення напружень

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Площі

Податливості

Навантаження

Відповідь

Жорсткості

Частка ділянки 2

Напруження

Відповідь

Полярний момент інерції й кут

Модуль зсуву

Відповідь

Крутний момент

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Згинальний момент у кожній позначці

Відповідь

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Відповідь

Центр ваги

Момент інерції перерізу

Момент, допустимий за кожним краєм

Визначальне значення

Відповідь

Радіус кола Мора

Відповідь

Напруження на поверхні

Коло Мора

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин під силою

Відповідь

Узгоджені одиниці

Кожне навантаження окремо

Додайте

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Найменший момент інерції

Радіус інерції і гнучкість

Критичне напруження

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину