Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 10 mmАлюміній1,5 mP = 80 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 80 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmАлюміній1,5 mØ 16 mmМідь1 mP = 95 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 95 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
d = ?T = 400 N·mL = 2 m

Суцільний вал (латунь) завдовжки 2 m передає обертовий момент 400 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 2°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 400 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 30 kW при 300 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 3 kN/mABпереріз2 m8 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 3 kN/m від 0 до 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 6 kN/mP = 20 kNABпереріз1 m3 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 20 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
150 mm240 mm168 mmØ40xIx​ = ?

Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
210280128xM = 120 kN·mрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 210 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 8 mm. Він сприймає згинальний момент 120 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σj у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 210 mmH = 280 mmtf = 12 mmtw = 8 mmM = 120 kN·m
σj = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −30σy​ = 100τxy​ = 40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = −30 MPaσy = 100 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
35°D = 1000 mm, t = 6 mm, p = 0,8 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 6 mm містить газ під надлишковим тиском 0,8 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 35° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σn, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 35°
σn = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 24 kNABδ1,5 m3,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mAB6 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.

L = 6 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 125 kNL = 5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 125 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 125 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 21,83 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1019/70000 = 0,01455 = 14551 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,01455·1500 mm = 21,83 mm

Відповідь

δ = 21,83 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,918 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 134,4 MPa
σ2 = 472,5 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 134,4·1500/70000 = 2,88 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 472,5·1000/117000 = 4,038 mm
δ = δ1 + δ2 = 6,918 mm

Відповідь

δ = 6,918 mm
3.Кручення валів

Відповідь: d = 49,46 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(39000·0,03491) = 587649 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)1/4 = 49,46 mm

Відповідь

d = 49,46 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 40,18 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Відповідь

d = 40,18 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 24 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15переріз2 m8 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 15·2 − 3·2·1 = 24 kN·m

Відповідь

Mx = 24 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 24 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 6·4·2
RB = 68/4 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 17 = 27 kN
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = 27RB​ = 17переріз1 m3 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 27·1 − 6·1·0,5 = 24 kN·m

Відповідь

Mx = 24 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 1257·168)/(36000 − 1257) = 118,3 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·1,736² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,74² = 3,234 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 169,7 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σj = 151 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 280 − 2·12 = 256 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·280³ − 202·256³)/12
Ix = 1,017 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 140 − 12 = 128 mm
σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·128/1,017 × 10⁸ = 151 MPa

Відповідь

σj = 151 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 74,2 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, −30 − 100) = 148,4°

Кут на елементі

θp = 74,2°

Відповідь

θp = 74,2°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σn = 55,7 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 0,8·500/6 = 66,67 MPa
σa = pr/(2t) = 33,33 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σn = 33,33·sin²35° + 66,67·cos²35° = 55,7 MPa

Відповідь

σn = 55,7 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δP = 1,837 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1500²·3500²/(3·2,4 × 10¹³·5000) = 1,837 mm

Відповідь

δP = 1,837 mm
12.Прогин балки

Відповідь: RB = 22,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Відповідь

RB = 22,5 kN
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 139,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Відповідь

Pcr = 139,5 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 70,13 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 70,13 mm

Відповідь

d = 70,13 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 142,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials