Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
150 kNØ30110 GPaØ100/50600 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 150 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 150 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 35 mmАлюміній0,5 mØ 20 mmСталь0,5 mP = 55 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 55 kNділянка 1: Ø35 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
d = ?T = 1000 N·mL = 2 m

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 2 m передає обертовий момент 1000 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 3°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 1000 N·mL = 2 mG = 26 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 30 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 30 kNP2​ = 50 kNAB2,5 m0,5 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 4 mP1 = 30 kN у 2,5 mP2 = 50 kN у 3 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mP = 10 kNABпереріз0,5 m1,5 m3 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 10 kN у 2 mw = 12 kN/m від 0 до 5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
2202016018xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
100 mm200 mm80 mm40 × 40xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 80 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 40 mmцентр отвору: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 130σy​ = 70MPaτxy​ = ?

У точці σₓ = 130 MPa і σᵧ = 70 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τxy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 160 MPa?

σx = 130 MPaσy = 70 MPaσ1 = 160 MPa
τxy = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 10τxy​ = 20MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σvM.

σx = 10 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 4 kN/mδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 1,5 kN/mABδ5 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 4 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 5 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,114 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5890 = 7,893 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 150000·600/7,893 × 10⁸ = 0,114 mm

Відповідь

δ = 0,114 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 175,1 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 175,1 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 175,1 MPa

Відповідь

σmax = 175,1 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: d = 62,2 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·0,05236) = 1,469 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)1/4 = 62,2 mm

Відповідь

d = 62,2 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 25,31 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Відповідь

d = 25,31 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 59,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·4 = 30·2,5 + 50·3
RB = 225/4 = 56,25 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 56,25 = 23,75 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·2,5 = 23,75·2,5 = 59,38 kN·m
під P2: M = RB·1 = 56,25·1 = 56,25 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 59,38 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 59,38 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 16,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2 + 12·5·2,5
RB = 170/5 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 34 = 36 kN
w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​ = 36RB​ = 34переріз0,5 m1,5 m3 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 36·0,5 − 12·0,5·0,25 = 16,5 kN·m

Відповідь

Mx = 16,5 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 20,39 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
стінка: Aw = 18·160 = 2880 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·170 + 2880·80)/7280 = 134,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·20³/12 + 4400·(170 − 134,4)² = 5,724 × 10⁶ mm⁴
стінка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 134,4)² = 1,467 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,724 × 10⁶ + 1,467 × 10⁷ = 2,039 × 10⁷ mm⁴ = 20,39 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 20,39 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 65,76 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1600·80)/(20000 − 1600) = 101,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−1,739² = 66,73 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·40³/12 + 1600·−21,74² = 0,9695 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 65,76 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 65,76 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τxy = 51,96 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (130 + 70)/2 = 100 MPa
R = σ1 − C = 160 − 100 = 60 MPa
στxyCσ1​σ2​

Дотичне напруження

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 30²) = 51,96 MPa

Відповідь

τxy = 51,96 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σvM = 36,06 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = 5 MPa, R = 20,62 MPa
σ1 = 25,62 MPa, σ2 = −15,62 MPa, σ3 = 0

Мізес

σvM = √(25,62² − 25,62·(−15,62) + (−15,62)²) = 36,06 MPa

Відповідь

σvM = 36,06 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 15,41 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 15,41 mm

Відповідь

δmax = 15,41 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 197,2 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·7,99 × 10⁷/125)1/3 = 197,2 mm

Відповідь

hreq = 197,2 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 5,737 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2800² = 5737 N = 5,737 kN

Відповідь

Pcr = 5,737 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 31,58 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σcr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials