Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 105 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 60 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2,5 m від A і 1,5 m від B, прикладено обертовий момент 2000 N·m. Знайдіть реактивний момент T_A у стіні A.

d = 60 mmT₀ = 2000 N·ma = 2,5 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 10 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP = 80 kN у 2,5 mw = 2 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 260 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 190 mm. Основа й полиці мають товщину 10 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 260 mmh = 190 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 200 × 16 mm, стінку висотою 280 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 280 × 24 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 200 × 16 mmстінка: 16 × 280 mmнижня полиця: 280 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 110 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 100 N·m разом з обертовим моментом 1500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmM = 100 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 10 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 65 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 65 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 13,37 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1337/200000 = 0,006685 = 6685 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,006685·2000 mm = 13,37 mm

Відповідь

δ = 13,37 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 710,6 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0006364) = 0,0006 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·1,184 × 10⁹ = 710628 N = 710,6 kN

Відповідь

P_max = 710,6 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5603 °

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·613592) = 0,009778 rad

φ = 0,009778·180/π = 0,5603°

Відповідь

φ = 0,5603°

4.Кручення валів

Відповідь: T_A = 750 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1,5/4 = 750 N·m

T_B = 2000·2,5/4 = 1250 N·m

Відповідь

T_A = 750 N·m

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 24,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 48,33, M_C = 96,67, M_D = 145 kN·m, M_E = 103,3, M_F = 61,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 145 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 78,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2,5 + 2·4·2

R_B = 216/4 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 54 = 34 kN

Де V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 29 kN

V(2,5⁺) = 29 − 80 = −51 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 34·2,5 − 2·2,5²/2 = 78,75 kN·m

Відповідь

M_max = 78,75 kN·m

Це в точці x = 2,5 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 60,16 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

дві полиці: A₂ = 2·10·180 = 3600 mm², y₂ = 10 + 180/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (2600·5 + 3600·100)/6200 = 60,16 mm

Відповідь

ȳ = 60,16 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 234,2 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3200 mm², y = 312 mm

стінка: A = 4480 mm², y = 164 mm

нижня полиця: A = 6720 mm², y = 12 mm

Центр ваги

ȳ = (3200·312 + 4480·164 + 6720·12)/14400 = 126 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 200·16³/12 + 3200·186² = 1,108 × 10⁸ mm⁴

стінка: 16·280³/12 + 4480·38,04² = 3,575 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 280·24³/12 + 6720·114² = 8,759 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,108 × 10⁸ + 3,575 × 10⁷ + 8,759 × 10⁷

I_x = 2,342 × 10⁸ mm⁴ = 234,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 234,2 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 55,62 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 70 MPa, R = √(40² + (−10)²) = 41,23 MPa

σ₁ = 111,2 MPa, σ₂ = 28,77 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82,46, 111,2, 28,77)/2 = 55,62 MPa

Відповідь

τ_abs = 55,62 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 127,6 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·40³) = 15,92 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 7,958 MPa

R = √(7,958² + 119,4²) = 119,6 MPa

σ₁ = C + R = 127,6 MPa

σ₂ = C − R = −111,7 MPa

Відповідь

σ₁ = 127,6 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 3,137 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 10000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 10000·1500³/(3·3,99 × 10¹²) = 2,82 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 0,3172 mm

Додайте

δ = 2,82 + 0,3172 = 3,137 mm

Відповідь

δ = 3,137 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

I_req = 46,02 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 46,02 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 11,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/4000² = 11103 N = 11,1 kN

Відповідь

P_cr = 11,1 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 32,62 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 32,62 mm

Відповідь

d = 32,62 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 91,97, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials